Investigamos transformaciones elementales de funciones

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Escrito por Javier Cayetano

Categoría de nivel principal o raíz: Análisis

Categoría: Actividades y juegos

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Siempre que conozcamos una función, tenemos la posibilidad de crear multitud de funciones nuevas a partir de ella, mediante unas sencillas transformaciones que denominamos "elementales".

A partir de la gráfica de la función y la nueva, podemos deducir fácilmente qué cambios debemos hacer en la expresión algebraica para obtener esa transformación, y lo que es más sorprendente:

• Podemos averiguar qué cambios hacer en la gráfica de la función para obtener la nueva gráfica.
• Por ejemplo conociendo la gráfica de \(f(x)=x^3-x^2-2x+1\), podríamos dibujar sin ningún esfuerzo la gráfica de una expresión tan complicada como \(g(x)=\frac{(x-1)^3-(x-1)^2-2(x-1)+1}{3}\)
• O para dibujar la gráfica de \(r(x)=\sqrt{\frac{3(x+5)}{4}}\), basta con hacer una pequeña transformación a la gráfica de \(s(x)=\sqrt{x}\), que ya conocemos.

Entonces, ¿cuáles son estas transformaciones tan útiles?

Las transformaciones que vamos a investigar son:

• traslaciones: mover la gráfica de la función en alguna dirección.
• dilataciones: estirar o enconger la gráfica bien horizontalmente o bien verticalmente. Combinando dos dilataciones y haciando una traslación se puede estirar/encoger en cualquier dirección, o aplicar una homotecia centrada en cualquier punto.
• simetrías, que consisten en reflejar la gráfica en alguno de los ejes. Realizando ambas, obtenemos la simetría central respecto el origen.

  Investigamos: nuestra primera tarea de investigación será sobre las simetrías. 

1. Al hacer la simetría respecto cualquiera de los ejes de coordenadas siempre se obtiene una nueva función. ¿Cómo podríamos justificarlo?
2. Vamos a investigar si se pueden combinar estas simetrías con alguna otra transformación para conseguir la simetría respecto otro eje vertical u horizontal ¿Cómo se haría?
3. La simétrica de una función respecto un eje oblicuo, por ejemplo la diagonal del primer cuadrante, normalmente no resulta una función. ¿Podríamos justificarlo con un ejemplo y decir los motivos?
   Por otra parte, al hacer esa simetría respecto la diagonal del primer cuadrante, decimos que se obtiene la gráfica de la inversa de la función (en las zonas donde el resultado sea una función). ¿Cómo podríamos justificar esta afirmación?
4. Es imposible hacer la simetría de una gráfica a partir de giros y traslaciones en el plano. Sin embargo, si saltamos al espacio, ya sí podemos, y resulta sencillo. Interactúa con esta actividad (clic aquí) para ver qué ocurre con algunas funciones. En esta animación podemos ver un ejemplo:

 Investigamos: nuestra segunda tarea de investigación es sobre la relación que hay entre las transformaciones elementales de las funciones y los cambios que hacemos en sus expresiones algebraicas. Concretamente, estudiaremos estos posibles cambios:

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