A vueltas con las superficies

Hiperboloides

El hiperboloide de revolución es la superficie generada al hacer girar una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría.

Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas. Además, el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada que se obtiene como la superficie de revolución correspondiente a un segmento/recta que no esté contenido en un plano que pase por el eje. De las cirunferencias obtenidas, la de menor radio se denomina "cintura", y el hiperboloide se obtiene al hacer girar una recta alrededor de esta cintura.

En general, como cuádrica, podemos considerar el hiperboloide como una generalización del anterior, cambiando la "cintura" por una elipse. Su ecuación implícita reducida es

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

La cintura, es la elipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), que podemos parametrizar mediante \(\{a\,cos(u),b\,sen(u),0\}\). En el caso del hiperboloide de revolución, será una circunferencia de radio r, (igual a los parámetros a y b).

Considerando las identidades trigonométricas \(sen^2x+cos^2x=1, cosh^2x-senh^2x=1\), podemos pasar a las ecuaciones paramétricas

\(\left\{\begin{array}{rl}x=&a\,cosh(v)cos(u) \\y=&b\,cosh(v)sen(u)\\z=&c senh(v)\end{array}\right.\)\(
\quad\begin{array}{c}\text{y denotando}\\
\bar v:=senh(v),
\end{array}\) \(\quad
\left\{\begin{array}{rl}
x=&a\sqrt{1+\bar{v}^2}\,cos(u) \\
y=&b\sqrt{1+\bar{v}^2}\,sen(u)\\
z=&c\, \bar{v}
\end{array}\right.
\)

para \(0\leq u<2\pi, v\in\mathbb R, \bar v\in\mathbb R\).

Para el hiperboloide de revolución, las ecuaciones se corresponden con la superficie generada al hacer girar la hipérbola \(\{z=c\cdot\bar{v},y=0,x=r\sqrt{1+\bar{v}^2}\}\), cuya ecuación implícita será \(\frac{x^2}{r^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.\)

Considerando que, para cualesquiera p,q, \((p\,cos(u)+q\,sen(u))^2+(p\,sen(u)-q\,cos(u))^2=p^2+q^2\), podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las rectas del hiperboloide que, usando la ecuación del hiperboloide:

\(\left\{\begin{array}{rl}
x=&a\left(\bar{v}\cdot sen(u)+cos(u)\right)\\
y=&b\left(\bar{v}\cdot cos(u)-sen(u)\right)\\
z=&\pm c \bar{v}
\end{array}\right.
\)

Notar que, la rectas que pasan por un punto de la cintura de la forma \((a\,cos(u),-b\,sen(u),0)\), tienen como vector director \(\overrightarrow{\left(a\,sen(u),b\,cos(u),\pm c\right)}\). En particular, la tangente del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro es \(\pm {\sqrt{a^2sen^2(u)+b^2cos^2(u)}}/c\) que, en el caso del hiperboloide de revolución, será constante \(\pm\frac{r}{c}\).

También, podemos utilizar la identidad trigonométrica anterior para, dado m>0, reescribir las ecuaciones como

\(\left\{\begin{array}{rl}
x=&a(m\bar{v}\cdot cos(u)+\sqrt{1+v^2}\,sen(u))\\
y=&b(m\bar{v}\cdot sen(u)-\sqrt{1+v^2}\,cos(u))\\
z=&c\,\sqrt{1+m^2} \bar{v}
\end{array}\right.\)

Vectorialmente:

\(
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=v\cdot\left(\begin{array}{l}
am\,cos(u)\\bm\,sen(u)\\c\sqrt{1+m^2}\end{array}\right)+
\sqrt{1+v^2}\cdot\left(\begin{array}{c}a\,sen(u)\\-b\,cos(u)\\0\end{array}
\right)
\)

Por tanto, para cada valor de u, tenemos la intersección del hiperboloide con el plano que pasa por el punto correspondiente de la cintura y forma un ángulo \(\omega\) con el eje, tal que \(tan(\omega)=\frac{m\,r(u)}{c\sqrt{1+m^2}}\), donde \(r(u)=\sqrt{a^2sen^2u+b^2cos^2u}\). Despejando m en la ecuación anterior, podemos elegir el ángulo del plano de corte, tomando \(m(u)=\frac{c\, tan(\omega)}{\sqrt{c^2\,tan^2(\omega)-r^2(u)}} \), válida siempre que el ángulo sea menor que el formado por las rectas del hiperboloide.

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Torso de pendiente constante sobre un hiperboloide de revolución

Si trazamos una curva de ángulo constante con el eje de giro sobre un hiperboloide de revolución de una hoja, y sobre ella hacemos deslizar un segmento, en la dirección de la curva, se obtiene una superficie desarrollable de pendiente constante. Esta superficie se denomina torso, pues es reglada y de curvatura nula.

Para generar el torso, partimos de su borde de regresión, que es una curva de pendiente constante sobre el hiperboloide. Denotemos \(t=r/c\), la tangente del ángulo de las rectas del hiperboloide y ω el ángulo que formará la pendiente de las curvas con el eje de rotación que debe ser menor que el de las rectas del hiperboloide. Para \(m:=\frac{t}{\sqrt{tan^2\omega-t^2}}\), considerando las ecuaciones anteriores, se puede comprobar que las ecuaciones de la curva de ángulo constante con el eje de giro, que será el borde de regresión son

\(
b(u,v)=\left\{
\begin{array}{rl}
x=&r(m\,senh(mu)cos(u)+cosh(m\,u)sen(u)) \\
y=&r(m\,senh(mu)sen(u)-cosh(m\,u)cos(u)) \\
z=&c\sqrt{1+m^2}senh(mu)
\end{array}
\right.
\)

Los segmentos que definen el torso deben tener la dirección \(t\sqrt{1+m^2}\cdot\overrightarrow{\left(cos(u),sen(u),0\right)}+\overrightarrow{(0,0,m)}\), para tener la inclinación determinada por m, y estar en el mismo plano vertical que el vector tangente al borde de regresión. Tomando un vector de módulo 1, podemos parametrizar el torso introduciendo la variable v que, además, indicará la longitud del segmento, resultando las ecuaciones:

\(torso(u,v)=b(u,v)+\frac{1}{\sqrt{t^2(1+m^2)+m^2}}\cdot(t\sqrt{1+m^2}cos(u),t\sqrt{1+m^2}sen(u),m)\).

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