Los sólidos platónicos
Los sólidos platónicos son los únicos 5 poliedros regulares convexos que existen. Esto es, los únicos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y los ángulos que forman las caras entre sí también son iguales.
El hecho de cumplir esas condiciones de regularidad hace que los poliedros regulares tengan tantas propiedades que desde siempre han fascinado a quienes los estudian. Una de las más bonitas y llamativas son sus simetrías.
Isometrías
Una isometría (iso=igual, metría=medida) es una transformación que conserva las medidas de las distancias y de los ángulos.
Las principales isometrías en el espacio son las
- rotaciones (alrededor de algún eje) y las
- reflexiones respecto un plano (similar a reflejar los objetos en un espejo)
Sorprendentemente, todas las demás isometrías pueden obtenerse combinando las anteriores (aunque no siempre sea fácil encontrar la manera).
Por ejemplo,
- Las traslaciones pueden obtenerse combinando dos reflexiones.
- Las simetrías centrales se obtienen combinando una rotación y una reflexión.
- ¡Incluso cualquier rotación se puede obtener combinando varias reflexiones!
¿Sabrías cómo expresar una traslación combinando dos reflexiones? ¿Y una rotación? ¿Y una simetría central combinando una rotación y una reflexión?
Simetría de una figura
Decimos que una isometría es simetría de una figura cuando, al transformar la figura con esa isometría, el resultado es de nuevo la misma figura "en la misma posición" que estaba. Puede ocurrir que se intercambien algunos vértices, caras o aristas por otros, pero el resultado final es la misma figura y en la misma posición.
Sabiendo que cualquier isometría se obtiene combinando rotaciones y reflexiones, podemos encontrar las transformaciones que dejan inalterados los sólidos platónicos. ¿Cuántas posibilidades habrá para cada uno de ellos?
La principal dificultad es que, como estas transformaciones son en el espacio, a veces es difícil imaginarlas. Por eso nos será muy útil la visualización con el ordenador (al final de este artículo).
Los sólidos platónicos admiten tres tipos de isometrías:
- Rotación.
- Reflexión.
- Roto-reflexión (combinar una rotación y una reflexión).
Además, hay dos subtipos de roto-reflexiones, según sean la rotación y reflexión que combinemos:
- Cuando por separado cada una ya era isometría de la figura.
- Si por separado no eran isometrías, pero es al juntarlas cuando resulta una isometría.
Un reto difícil es imaginarse alguna roto-reflexión para el cubo de este segundo tipo. Con ayuda del applet que tenemos más abajo, será muy fácil visualizarlas.
¿Adónde va cada vértice? Ciclos y órbitas
Aún sabiendo describir la isometría, puede resultar difícil expresar qué ocurre con cada vértice, cuál es su "imagen". (Igualmente con las caras o las aristas). Averiguar mentalmente cuál es la imagen de cada punto es un buen entrenamiento para nuestra visión espacial. En el applet, podemos mostrar/ocultar esta información.
Además, en todas estas transformaciones ocurre algo curioso: aparecen ciclos, que son grupos de puntos que, entre ellos, se van transformando unos en otros al aplicar una y otra vez la isometría. Cada uno de los diferentes conjuntos de puntos obtenidos se denomina órbita. Si dibujamos unas flechas marcando dónde va cada punto, obtenemos caminos "circulares" (por eso los nombres de ciclo y órbita).
Por ejemplo, para el cubo:
- En una rotación de 90º (primera imagen) usando un eje vertical que pase por el centro de una cara, los "cuatro vértices de arriba" se van transformando entre ellos e igualmente los "cuatro de abajo", con lo que tenemos dos órbitas.
¿Qué ocurrirá con una rotación en la que el eje pasa por el centro de una cara, o de una arista? - En una roto-reflexión (segunda imagen), en la que la rotación y la simetría no son isometrías por separado, los puntos que no forman parte del eje de giro van pasando de uno a otro, y los del eje de giro se intercambian entre ellos. También habría dos órbitas.
- En una reflexión (tercera imagen) donde el plano pase por el punto medio de una arista, cada punto se corresponderá con uno solo "el de enfrente", resultando cuatro órbitas diferentes.
Fíjate en las tablas en las que aparecen las imágenes de cada punto. Cada una de estas isometrías lo que hace es intercambiar o "permutar" las posiciones de los elementos de la tabla. Para nosotros, bastaría con tener esa tabla para poder decir con exactitud cuál es la isometría que hemos aplicado.
¿Cómo encontrar las rotaciones y reflexiones?
- Un primer paso es razonar que tanto el eje de rotación como el plano de simetría deben pasar por el centro del poliedro.
- Esto nos reduce las posibilidades a que, además, pasen por uno de los vértices o el centro de una cara o una arista.
- Por último, el hecho de que las caras sean polígonos regulares, nos permite calcular las posibilidades que hay para los ángulos de rotación. (Por ejemplo, si al girar un vértice tiene que ir a otro de los vértices del poliedro).
Siempre que vayamos a combinar una rotación y una reflexión, los resultados de esa transformación siempre se pueden conseguir haciendo que el plano de reflexión sea perpendicular al eje de rotación (lo que nos da la ventaja de que el resultado será el mismo independientemente del orden en que hagamos esas dos transformaciones). Como además pasa por el centro del poliedro, una vez que tengamos el eje de rotación, solo habrá una posibilidad para el plano de simetría.
Con estas indicaciones podemos hacernos idea de cómo son esas isometrías. Pero... ¿cuántas hay en total?¿cuántas de cada tipo? Si somos ordenados, podremos contar todas las posibilidades simplemente multiplicando y sumando. Tan solo tenemos que acordarnos de contar también la "Identidad" (dejar todo tal y como está, sin mover nada) y que si segumos esas indicaciones siempre obtendremos transformaciones diferentes, salvo en el caso de la simetría central, que puede obtenerse de varias maneras.
En el applet más abajo tenemos el desglose de cuántas hay de cada tipo.
El reto... ¿cuál es esa transformación?
Conociendo las posibilidades que hay de isometrías para un sólido platónico -por ejemplo el cubo-, un reto interesante puede ser que nos den cuáles son las imágenes de todos los puntos (por ejemplo, con una tabla junto la figura) e intentar deducir cuál es la transformación que se ha aplicado. Para ello, tendremos que utilizar todos nuestros conocimientos sobre rotaciones, reflexiones y ciclos, y estaremos entrenando nuestra visión espacial.
En el applet, podemos desmarcar las casillas para visualizar el eje o el plano de simetría y así generar las imágenes con las que proponer estos retos (obteniendo la imagen mediante una captura de pantalla).
Interactuando con las isometrías
Ha llegado el momento de ver e interacturar con cada una de las posibles isometrías que hay para cada sólido platónico, utilizando este applet de geogebra:
- Tenemos opción de elegir el tipo de transformación, y para cada tipo las diferentes posibilidades que hay, como por ejemplo, el vértice por el que pasa el eje, o el ángulo de rotación.
- Podemos elegir visualizar el eje o el plano de rotación.
- También podemos mostrar las tablas de información o las flechas "vectores" que unen cada punto con su imagen.
Instrucciones
- Podemos rotar la figura arrastrando con el botón derecho del ratón.
- Pulsando en el botón ⓘ, veremos la tabla resumen del número de isometrías del poliedro para cada tipo y la tabla con la imagen de cada punto.
- Pulsando en el "ojo", rotaremos la vista para que sea perpendicular al eje de rotación.
- El deslizador "desarrollo" nos permite visualizar cada transformación.
- Marcando la casilla "vectores" podremos visualizar fácilmente la órbita de cada punto.
Enlace al applet en la web de geogebra: https://www.geogebra.org/m/c4sfsfsb
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima primera edición,
también denominada 11.5, está organizado por @maytejromera a través de su blog Qué vamos a hacer hoy.