SUPERFICIES DE HOJAS CON GEOGEBRA

Débora Pereiro Carbajo

En clase me gusta proponer pequeños proyectos de investigación con GeoGebra. Este curso, motivada por el proyecto “Miradas de la geometría” (organizado por las asociaciones de matemáticas Agapema y Les Maths en Scene), me propuse trabajar con el alumnado de 1º de  ESO: poliedros, cúpulas geodésicas y superficies.

Fig 1. Cúpula Fig 2 Superficie Hoja

Fig. 1 y 2. Cúpula geodésica y hoja

Puesto que sobre las cúpulas geodésicas ya he hablado (en un artículo publicado en Suma, N.º 93 de Abril 2020) en esta ocasión voy a hacerlo sobre superficies, en concreto sobre las superficies de las hojas de árboles o plantas.

El objetivo de este proyecto era determinar la superficie de las hojas de los árboles del instituto y, a partir de la estimación del número de hojas de éstos, obtener una aproximación del área foliar que interviene en la fotosíntesis. 

Los últimos avances de GeoGebra posibilitan la construcción de superficies delimitadas por curvas. Esto ha abierto un mundo de posibilidades en la modelización: construcciones arquitectónicas, objetos cotidianos, de la naturaleza, etc.

Para modelizar las hojas con GeoGebra,  proceso relativamente sencillo, necesitamos insertar una foto de la hoja en GeoGebra, situar puntos en el borde de la hoja y utilizar los comandos “Spline” y “Superficie” para construirla. Para que el alumnado no tenga que utilizar estos comandos se les puede proporcionar herramientas propias de GeoGebra que construyan las curvas y la superficie a partir de un cierto número de puntos.

Una vez modelizada la superficie con GeoGebra me encontré con la dificultad de calcular el área de estas superficies. Por ahora, GeoGebra proporciona el área de cualquier polígono (y superficie lateral de cuerpos de revolución) pero no el área de una superficie delimitada por una curva cualquiera.

Para solventar esta dificultad conté con la inestimable ayuda de Bernat Ancochea. Diseñamos varios procedimientos para calcular las áreas de superficies entre curvas y con ellos creamos las herramientas GeoGebra para el alumnado.

Uno de los métodos que aplicamos, ideal para superficies tridimensionales, consiste en dividir la superficie en pequeños triángulos y sumar sus áreas. El otro método, adecuado para superficies bidimensionales, consiste  aproximar la superficie mediante un polígono con vértices en su borde.

Fig 3 Area por dos metodos

Fig 3. Área por dos métodos

Este proyecto lo puso en práctica uno de mis grupos de 1º de ESO del IES As Barxas de Moaña de la siguiente manera: primero recogieron numerosas hojas de árboles, después las secaron mediante prensado, las fotografiaron junto a una madera a modo de regla (que les serviría  como referencia para calcular la escala), insertaron las imágenes en GeoGebra y con las herramientas que les había proporcionado modelizaron las hojas y obtuvieron el área de estas superficies. (Las hojas de formas irregulares hubo que dividirlas en trozos y utilizar la herramienta en cada una de las superficies obtenidas).

Fig 4 Hojas As BarxasFig 4. Fotos de hojas

Paralelamente calcularon la escala 1:k (que relaciona la medida en GeoGebra con la real) y partir de este valor (k) obtuvieron el área de la superficie de las hojas (multiplicando por k² el área obtenida en GeoGebra).

Fig 5 CamelioFig 6 Arce rojoFig 7 Carballo americano

Fig 5, 6 y 7: Hojas de Camelio, Arce japonés y Roble americano

Y, para finalizar, habría que hallar el área de la hoja media de cada árbol y estimar la superficie de las hojas del árbol. Sin embargo, esta tarea no se pudo completar debido al confinamiento obligado por la Covid-19. Confiamos en llevarla a término próximamente.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima edición, también llamada 11.4,
está organizado por Javier Cayetano Rodríguez, a través de la web
Rincón Didáctico de Matemáticas,
de la Consejería de Educación y Empleo de la Junta de Extremadura.