Algunos poliedros, y en especial los regulares como el octaedro, admiten isometrías que:

• Consisten en la composición de una rotación y una simetría.
• La rotación y la simetría -por separado- no son isometrías del poliedro.

Para el octaedro, tenemos dos posibilidades (según el sentido de giro) por cada par de caras simétricas respecto el centro del octaedro.
Como hay 4 pares de caras, resultan 12 isometrías de este tipo. Pulsa en la imagen para cargar la visualización en GeoGebra e interactuar con ella. Se puede rotar la figura arrastrando con el botón derecho del ratón.

(*) Para abrirlo en GeoGebra, puedes usar este enlace.

Dada una curva plana, podemos "dibujarla" sobre la esfera, mediante una proyección.

Con este applet de GeoGebra podemos visualizar cómo se hace esa transformación para curvas expresadas en coordenadas polares (pulsa en la imagen para abrir la actividad):

• ¿Sabrías describir con tus palabras en qué se basan estas transformaciones? (describir cómo se hacen, lo más matemáticamente posible)
• Indica qué problemas podemos encontrar cuando la curva "sobresalga" de la esfera.
• ¿Cómo se podría resolver? Como pista, aquí tenemos un ejemplo:

Ésta es una de las representaciones tridimensionales de la Botella de Klein. ¿Se te ocurre por qué recibe el sobrenombre de "Venus etrusca"?

¿Hacemos una pequeña introducción a las coordenadas polares para nuestros alumnos? Aquí tenemos un pequeño juego. (clic aquí o en la imagen para ir a la actividad geogebra)

• Para practicar más, también podemos usar esta versión (clic aquí) en la que no se indican las gradaciones mientras se hacen las preguntas (los grados van siempre de 15º en 15º).

Y si quieremos aprovechar para practicar los radianes, también: (clic aquí o en la imagen para ir a la actividad geogebra)

• Para practicar más, también podemos usar esta versión (clic aquí) en la que no se indican las gradaciones mientras se hacen las preguntas.