GeoGebra

Superficies de revolución

Una superficie de revolución se obtiene al hacer girar una curva, no necesariamente plana, sobre un eje. La curva se denomina generatriz y el eje, eje de giro.

Dependiendo del tipo de curva, obtendremos superficies con aspecto muy diferente entre sí. Por ejemplo

supRevolucion

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Además, a partir de la idea de superficie de revolución podemos crear una gran variedad de superficies nuevas, introduciendo algunas variaciones.

Para crearlas y poder dibujarlas con nuestro software matemático (en este caso, GeoGebra), nos será de utilidad analizar cómo dar las ecuaciones para estas superficies.

Ecuaciones paramétricas

Para deducir las ecuaciones, basta considerar que la superficie se obtiene al crear una circunferencia a partir de cada punto de la curva, que estará contenida en el plano perpendicular al eje que pasa por ese punto y tiene como radio la distancia del punto al eje.

Aquí, por comodidad, tomaremos como eje de giro el eje z. En ese caso, la ecuación de una circunferencia de radio r centrada en un punto del eje, de la forma (0,0,t) será \(\{x=r cos(u),y=r sen(u), z=t\}\), para \(0\leq u<2\pi\). Por eso, para una curva contenida en el plano y=0, de ecuaciones \(c(v)=\{c_1(v),0,c_2(v)\}\), la correspondiente superficie de revolución será.

\(\left\{\begin{array}{rl} x=&c_1(v)cos(u)\\ y=&c_1(v)sen(u)\\ z=&c_2(v) \end{array}\right.\qquad,\quad 0\leq u<2\pi\)

 pues para cada punto \((0,0,c_2(v))\) del eje, estamos situando una circunferencia de radio \(c_1(v)\).

Así, podemos obtener de manera sencilla las ecuaciones paramétricas para el cilindro, el cono, etc.

Por ejemplo, el toro se obtiene al hacer girar una circunferencia de radio r, que se encuentra a una distancia d>r del eje. Por ejemplo, una circunferencia con centro en (d,0,0)

Como  la ecuación de esa circunferencia es \(c(v)=\{d+r\,cos(v),0,r\,sen(v)\},\ 0\leq v<2\pi\), tenemos las siguientes ecuaciones paramétricas del toro:

\(\left\{\begin{array}{rl} x=&(d+r\,cos(v))cos(u)\\ y=&(d+r\,cos(v))sen(u)\\ z=&r\,sen(v) \end{array}\right.\qquad,\quad 0\leq u,v<2\pi.\)

De manera parecida, podríamos obtener las ecuaciones para la esfera.

Generalizando las superficies de revolución

En las siguientes pestañas, veremos diferentes ejemplos de superficies que se pueden obtener introduciendo algunas variaciones en las ecuaciones obtenidas anteriormente. Todos ellos llevan los enlaces correspondientes a GeoGebra, para poder interactuar con las diferentes construcciones.

Para estas "generalizaciones", los applets de GeoGebra utilizados han sido:

Agradecimientos

  • Al grupo de telegram Retos Matemáticos, donde se ha propuesto estudiar muchas de estas superficies, y me han animado para escribir los applets con los modelos. En especial, al administrador del grupo, José Manuel Sánchez.

Otras referencias:

  • Kirischiev RI. Lines of slope on the second order surfaces of revolution. Matematika, nekotorie eyo prilozheniya i metodika prepodavaniya. Rostov-na-Donu, 1972; p. 80-94.
  • Krivoshapko S.N. y Ivanov V.N. Encyclopedia of analytical surfaces (pág 36). Springer International Publishing Switzerland, 2015.
  • Wunderlich Walter. Kurven konstanter ganzer Krümmung und fester Hauptnormalenneigung. Monatsh. ath. 1973; 77, No. 2, p. 158-171.

 

 Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta nonagésima octava edición,
también denominada 13.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo


Edición: Este artículo quedó en segundo lugar en el Carnaval de matemáticas.

Utilizar funciones para dibujar flores puede darnos pie para comenzar el análisis de las propiedades de las funciones. Desde el proyecto CREA te ofrecemos esta actividad autoevaluable, preparada con GeoGebra. Pulsa en la imagen para cargarla, o ábrela usando este enlace.

floresFunciones

 

SUPERFICIES DE HOJAS CON GEOGEBRA

Débora Pereiro Carbajo

En clase me gusta proponer pequeños proyectos de investigación con GeoGebra. Este curso, motivada por el proyecto “Miradas de la geometría” (organizado por las asociaciones de matemáticas Agapema y Les Maths en Scene), me propuse trabajar con el alumnado de 1º de  ESO: poliedros, cúpulas geodésicas y superficies.

Fig 1. Cúpula Fig 2 Superficie Hoja

Fig. 1 y 2. Cúpula geodésica y hoja

Puesto que sobre las cúpulas geodésicas ya he hablado (en un artículo publicado en Suma, N.º 93 de Abril 2020) en esta ocasión voy a hacerlo sobre superficies, en concreto sobre las superficies de las hojas de árboles o plantas.

Los sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son los únicos 5 poliedros regulares convexos que existen. Esto es, los únicos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y los ángulos que forman las caras entre sí también son iguales.

solidosPlatonicos

El hecho de cumplir esas condiciones de regularidad hace que los poliedros regulares tengan tantas propiedades que desde siempre han fascinado a quienes los estudian. Una de las más bonitas y llamativas son sus simetrías.

Algunos poliedros, y en especial los regulares como el octaedro, admiten isometrías que:

  • Consisten en la composición de una rotación y una simetría.
  • La rotación y la simetría -por separado- no son isometrías del poliedro.

Para el octaedro, tenemos dos posibilidades (según el sentido de giro) por cada par de caras simétricas respecto el centro del octaedro.
Como hay 4 pares de caras, resultan 12 isometrías de este tipo. Pulsa en la imagen para cargar la visualización en GeoGebra e interactuar con ella. Se puede rotar la figura arrastrando con el botón derecho del ratón.

(*) Para abrirlo en GeoGebra, puedes usar este enlace.