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Uno de los objetos matemáticos que, a simple vista nos parecen más llamativos, son las espirales y las construcciones relacionadas con ellas.

espirales

Desde luego, son un recurso artístico muy bonito, pero también podemos encontrarlas fácilmente en la naturaleza.

  • ¿Sabrías decir en qué consiste una espiral? ¿Conoces alguna forma de dibujarlas?
  • ¿Sabías que aparecen en los iris de las cámaras de fotos, y en las composiciones "doblado en iris"?
  • Las semillas del girasol se distribuyen formando miles de espirales, usando algo muy relacionado con ellas, que aparece en muchos lugares de la naturaleza: la "sucesión de Fibonacci" y los ángulos áureos.
    Sabemos ¡y vemos! que muchísimas plantas crecen así, usando ángulos áureos, para que las hojas se tapen lo menos posible entre sí, y aprovechar mejor la luz del Sol.

Con esta actividad (pulsa aquí o en la animación anterior) podremos aprender y manipular muchos conceptos relacionados con ellas.

Aquí tienes algunos ejemplos de lo que podemos visualizar en la construcción.

espiralAureaTrianguloespiralGirasoliris

¿Los construímos?

- Utiliza las indicaciones del applet para crear tu propia espiral falsa con el compás y arcos de circunferencia. Podrás hacer la de varios centros o la de Fibonacci.

- Dibujando segmentos perpendiculares, imitando uno a uno los pasos del applet, podrás dibujar la Espiral de Teodoro.

- También, recortando pequeños rectángulos de papel puedes preparar un "iris folding":

  • imprime el modelo que te guste, haciendo una captura de pantalla del applet
  • recorta un cuadrado grande en un papel y, después, pega la plantilla.
  • comienza a pegar pequeños rectángulos de papel coincidiendo con las líneas de tu plantilla, de fuera hacia dentro. Esta parte que estás haciendo será la parte de "detrás" de la composición. No podrás ver cómo queda hasta que termines y despegues la plantilla.
  • cuando termines, despega la plantilla y dale la vuelta para ver tu creación, que está por el otro lado del folio.

irisFoldingPapel

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima cuarta edición, también denominada X.4, está organizado por @maytejromera a través de su blog Qué vamos a hacer hoy.

(*) Actualización: Este artículo resultó ganador de la edición de septiembre de 2019 del Carnaval de Matemáticas.

premioCarnavalMatematicas09 19

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No se trata de alguien haciendo la "operación bikini" para el verano sino que, algunas veces, las fórmulas para los llamados cuerpos redondos (porque tienen partes curvas) son vistas como una dificultad insalvable.

Sin embargo, pensando un poco, todas esas fórmulas se obtienen a partir de polígonos, prismas y pirámides. ¡Vamos a verlo!

  • El número pi y la longitud de la circunferencia:
    La definición de π es precisamente "el número por el que hay que multiplicar el diámetro (doble del radio, 2r) para obtener la longitud de la circunferencia".
    ¡¡π se define para que la circunferencia mida 2πr !!

    Como los cuerpos redondos se generan usando circunferencias, en todas las fórmulas aparecerá nuestro número π.

  • El círculo, los cilindros y los conos:
    Pensando el círculo como un polígono regular con muchos lados, sus áreas son prácticamente iguales. Aplicando esta idea a los cilindros y a los conos, podemos deducir todas las fórmulas que necesitamos.

En las opciones de la derecha, elige la fórmula que te interese.
Pulsa en cada paso para ver la descripción.
Podemos modificar el número de lados para ver cómo, con "muchos lados", el cuerpo es "casi" un cuerpo redondo.
Podemos reorientar la vista 3D arrastrando con el botón derecho. Pulsando en el título de la sección iremos al applet en la web de GeoGebra.

  • La esfera:
    Razonando como con el círculo, podemos recubrir la esfera con muchos polígonos, o con muchas circunferencias y sumar todas sus áreas. Y si lo que queremos es el volumen, podemos rellenarla con pirámides o conos.
    ¿Parecen demasiadas sumas?
    Si lo razonamos bien, no tendremos hacer ninguna suma para obtener cada fórmula. ¿Vemos cómo?

Este artículo forma parte de la octogésimo tercera edición del carnaval de matemáticas X.3, organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.