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Proporciones y circunferencias

Muchas veces, nos limitamos a ver las proporciones como "igualdad entre razones" \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), donde identificamos los "extremos" a y d, y los "medios" b y c.

Para comprobar si dos razones forman una proporción, sabemos que, al "multiplicar en cruz", los productos deben resultar iguales a·d=c·d.

Pero,

¿sabías que las proporciones son redondas?

Si dos razones forman una proporción, entonces podremos dibujarlas utilizando una circunferencia.

Y si no forman proporción, ya no podremos hacer esa representación.

¿Cómo dibujamos una proporción?

Por ejemplo, vamos a dibujar la proporción \(\frac{14}{7}=\frac{20}{10}\), que es proporción pues 14·10=20·7, esto es, 140. Otra forma de comprobarlo es observar que el cociente es 2 en ambos casos.

Para dibujar esta proporción,

  • partiendo de un punto cualquiera P,
  • dibujamos segmentos de la longitud de los extremos: 10 y 14, en cualquier dirección, pero sentidos contrarios.
  • igualmente, segmentos de la longitud de los medios: 20 y 7, en cualquier otra dirección, también con sentidos contrarios.

Pues... ¡mágicamente!, podemos trazar una circunferencia que pasa por los cuatro puntos. Por ello, decimos que estos puntos son cocíclicos.

Aquí puedes ver dos ejemplos, en los que se han utilizado inclinaciones diferentes.
(*) Fíjate en que el punto P no tiene por qué ser el centro de la circunferencia.

proporcion1 proporcion2

En este ejemplo, hemos tomado los segmentos en sentido contrario. Pero también se pueden tomar en el mismo sentido. Por ejemplo, para la proporción \(\frac{60}{30}=\frac{50}{25}\), que claramente es una proporción porque los cocientes valen 2 (o bien porque 60·25=30·25, que resulta 750).

Vamos a seguir el procedimiento anterior, pero esta vez tomando los segmentos en el mismo sentido. Esto es:

  • partiendo de un punto cualquiera P,
  • dibujamos segmentos de la longitud de los extremos: 60 y 25, en cualquier dirección y en el mismo sentido.
  • igualmente, segmentos de la longitud de los medios: 30 y 50, en cualquier otra dirección, también en el mismo sentido.

Pues... ¡mágicamente!, también podemos trazar una circunferencia que pasa por los cuatro puntos. Igual que antes, aquí tenemos dos ejemplos en los que se han utilizado inclinaciones diferentes.

proporcion3 proporcion4

¿Y si no forman una proporción?

En ese caso, no podemos trazar una circunferencia que pase por los puntos obtenidos. La que pasa por tres de ellos es diferente de la que pasa por otros tres.

Aquí puedes ver un par de ejemplos en los que, como no forman una proporción, no hay una circunferencia que pase por los cuatro puntos a la vez. No son cocíclicos.

En el primero, \(\frac{30}{25}\neq\frac{50}{30}\), y en el segundo, \(\frac{50}{25}\neq\frac{41}{30}\)

proporcion3 proporcion4

Así que ya ves, tan solo las proporciones son "redondas".

¿Y a qué se debe esta magia?

En matemáticas, lo normal es que, cuando nos encontramos con un hecho tan maravilloso, nos preguntemos por qué ocurre esto, e intentemos demostrar razonadamente que efectivamente esto es así.

A nuestro resultado lo denominamos teorema. Así que, la pregunta que nos hacemos es: ¿cuál es el teorema que afirma que esto es cierto?

En este caso, nos encontramos ante la Potencia de un punto respecto una circunferencia, que es un resultado que engloba tres teoremas a la vez.

Los teoremas

Estos tres teoremas corresponden a la geometría del círculo, y relacionan los segmentos que se originan al trazar dos rectas cualesquiera desde un punto P, que corten a una circunferencia. Según sea el punto y las rectas, lo denominamos teorema de las

  • cuerdas, cuando el punto es interior a la circunferencia;
  • secantes, si es exterior y las dos rectas son secantes;
  • tangente y secante, si una de ellas es tangente.

    Además, tenemos el teorema de la
  • altura. Caso particular del de las cuerdas, en que una de ellas es un diámetro.
    En ese cado, sus extremos, junto con uno de los extremos de la otra cuerda forman un triángulo rectángulo.
    (*) Igualmente, este mismo caso permitiría obtener el "teorema del cateto".

Estos teoremas establecen que el producto de las longitudes de los correspondientes segmentos siempre resulta el mismo, independientemente de las rectas elegidas.

  • Tan solo depende del radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro. Concretamente, ese producto es la diferencia de sus cuadrados.
  • Esta sorprendente propiedad resulta muy útil para calcular distancias desconocidas, si podemos relacionar nuestros puntos con una circunferencia. Bastará resolver una pequeña ecuación.
  • Los teoremas se basan en semejanza de triángulos. A veces resulta más cómodo expresar estas relaciones mediante cocientes, de manera que queda clara la relación de proporcionalidad, que es la que hemos utilizado en los ejemplos anteriores.

En la siguiente actividad podemos visualizar diferentes ejemplos de cada teorema, ver la demostración, y resolver pequeños ejercicios de aplicación directa.

Antes de comenzar a resolver los ejercicios, puede resultarte útil echar un vistazo al apartado ¿Cómo averiguar distancias desconocidas?, de más abajo.

Pulsa aquí para ir al recurso en GeoGebra

Instrucciones

  • Pulsa el botón "Otro Ejemplo", o bien mueve los puntos de color azul para visualizar diferentes ejemplos.
  • Marcando la casilla "Valores", podemos ver las longitudes correspondientes.
  • Además, con la casilla "Cálculos", el valor de los correspondientes productos o fracciones.
  • La casilla "Usar fracciones" nos permite alternar entre visualizar productos y fracciones.
  • Con la opción "Las proporciones son redondas", podremos mover los puntos para visualizar situaciones donde no se cumple el teorema.

Ejercicios

  • Hay dos tipos: calcular el valor de una longitud, o bien colocar un punto para que podamos trazar una circunferencia que pase por todos.
  • Para todos ellos, habrá que plantear una pequeña ecuación, resultado de la aplicación directa del teorema. Pero ¡cuidado! que en algunos casos habrá que sumar/restar las cantidades obtenidas.
  • Cada ejercicio correcto vale 1 punto. Las respuestas incorrectas no penalizan.
  • Podemos hacer tantos ejercicios como queramos. Lo importante es entender bien estos teoremas.

¿Cómo averiguar distancias desconocidas?

Ya hemos dicho que estos teoremas nos permiten averiguar distancias desconocidas de una forma sencilla. Pero ¿cómo se hace?

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos calcular la distancia entre los puntos A' y B, dada esta situación:

resolver1Podemos aplicar el teorema de las cuerdas "potencia de P respecto la circunferencia", denotando x la distancia entre P y B, de manera que

\(24x=54·20\), con lo que \(x=\frac{54\cdot 20}{24}=45.\)

Con eso ya, la distancia entre A' y B será \(45+24=69\) (unidades). ¡Sencillo!

¡Anímate y utiliza nuestros teoremas para resolver los ejercicios de propuestos en la actividad interactiva anterior!

A veces, los ejercicios son todavía más fáciles y bastará con calcular la distancia de P a B. Resolverlos nos ayudarán a interiorizar el concepto de potencia de un punto respecto una circunferencia.

¡Todavía más interesante!

Sabemos que, dado un triángulo, siempre hay una circunferencia (circunscrita) que pasa por sus vértices. Sin embargo, eso ya no es cierto para cuadiláteros, pentágonos, etc... ¿Qué debe cumplir un cuadrilátero para que esto ocurra?, esto es, para que sea "cíclico".Hay diferentes propiedades que lo caracterizan. Por ejemplo, que los ángulos opuestos sean suplementarios.

También puede verse tomando la intersección de las diagonales o de la prolongación de dos lados opuestos, y comprobando si cumplen el teorema: si los productos de las correspondientes distancias son iguales. Esto es lo que nos ha permitido al principio del todo relacionar cualquier proporción con una circunferencia:

  • Si dos razones forman una proporción, entonces al dibujar segmentos de longitud los elementos de esas razones (alineando medios y extremos), tenemos un cuadrilátero por el que pasa una circunferencia, esto es, cíclico.
  • Si dos razones no forman proporción, entonces ninguna circunferencia contiene pasa por los cuatro puntos.

En la actividad anterior, puedes investigar este curioso hecho marcando la opción Las proporciones son redondas. Esto es lo que se ha hecho para generar las imágenes que se presentaron al principio del artículo.

También lo necesitarás para resolver los ejercicios donde se pide que coloquemos un punto para poder trazar una circunferencia por todos ellos.

¿Es obligatorio utilizar números enteros?

Si has interactuado un poco con el applet, habrás visto que todos los ejemplos que se proponen de forma automática son con números enteros, y en las preguntas también.

Se ha hecho así para que sea más rápido el centrarse en las igualdades de nuestros teoremas; de hecho, y por ese motivo, se proponen siempre números donde la comprobación sea rápida y las cuentas sencillas.

Pero si en el modo "visualizar" activamos la casilla para ver los cálculos y movemos los puntos, enseguida aparecerán operaciones con decimales.

Echa un vistazo al apartado ¿Cómo hemos conseguido números tan sencillos? para ver por qué el uso de números enteros encierra más conocimientos matemáticos de lo que parece.

Un Teorema Con Altura

Por su importancia, es frecuente estudiar el teorema de la altura como un resultado aparte. Podemos enunciar este teorema como:

Dado un triángulo ABC rectángulo en A, sea P el pie de su altura respecto A.
Entonces la altura al cuadrado es el producto de los segmentos que origina en la base.
Es decir: AP2=BP·PC.

Además, si la altura de un triángulo verifica la igualdad anterior, entonces el triángulo es rectángulo en A. Para analizar el teorema desde el punto de vista del teorema de las cuerdas, basta considerar que un triángulo ABC es rectángulo em A cuando el centro de su circunferencia circunscrita yace en la base opuesta BC. (Ver la demostración incluida en el applet)

  • Por tanto, BC diámetro de la circunferencia.
  • En particular, el punto simétrico de A respecto BC también está en la circunferencia.
  • Aplicando el teorema de las cuerdas al pie P de la altura correspondiente a A, tenemos el teorema de la altura.

El teorema del cateto

Igualmente, la proporcionalidad entre los segmentos nos permite obtener el teorema del cateto:

La medida del cateto, al cuadrado, es el producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella; esto es, Cada cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Nuestro turno

A continuación, te proponemos un par de actividades para que puedas poner el práctica lo que acabamos de aprender sobre proporciones y circunferencias (la Potencia de un punto respecto una Circunferencia).

Actividad

Elige una proporción entre dos razones que quieras (con números sencillos), o bien alguna de las que se obtienen en los ejemplos del applet.

1)

  • En un folio, utiliza el procedimiento descrito en el apartado ¿Cómo dibujamos una proporción? para representar esta proporción.
  • Puedes elegir las unidades que te vengan bien, para que el dibujo quepa en tu folio: centímetros, milímetros, o cualquier otra.
  • Incluye el dibujo de la circunferencia.
    • ¿Recuerdas cómo se dibujaba la circunferencia circunscrita para tres puntos?
    • Te basta con eso, porque ya sabemos que la circunferencia tiene que pasar obligatoriamente por el cuarto punto.
  • Puedes probar a dibujar algunas proporciones más.
  • ¿Te ha salido? ¿Tienes dudas? Mira un poco más abajo, por si quieres guiarte en el proceso de creación de una alumna de secundaria.

 

2) Investiga: Supón ahora que estás diseñando el applet que has visto antes.

(*) Para hacer este apartado, necesitas saber manejar un programa de geometría dinámica. Por ejemplo, GeoGebra.

  1. Sitúa el punto P por ejemplo, en el origen de coordenadas.
  2. ¿Cómo podrías hacer para que los segmentos tengan cierta longitud pero "el usuario" pueda modificar la inclinación?
    (*) Pista, necesitas trazar primero la circunferencia de centro el origen y radio la longitud de ese segmento, y luego situar un punto sobre esa circunferencia.
  3. ¿Cómo hacer para que el siguiente punto esté en la misma dirección que el anterior?
    (*) Pista, necesitas trazar la recta que pasa por el primer punto y el origen.
  4. Dibuja de forma similar los otros dos puntos.
  5. Traza la circunferencia circunscrita utilizando el comando que permite dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos.
    Como teníamos una proporción, ya sabemos que también pasará por el cuarto.

Esta actividad de investigación permite hacer diferentes ampliaciones. Puedes irte fijando en los detalles del applet.

Por ejemplo, la circunferencia resultante puede tener un radio "cualquiera" y un centro "cualquiera"

¿Cómo podrías hacer para presentar al final una circunferencia con el centro donde tú elijas, y el radio que tú quieras?

  • La respuesta está relacionada con hacer traslaciones y homotecias (hay que saber elegir correctamente la razón de semejanza).
  • Pero, si incorporamos eso, ¿cómo hacemos para permitir que el "usuario" modifique la configuración de los puntos?
    (*) Pista: una buena idea puede ser utilizar la segunda vista gráfica para hacer todos los cálculos de intersecciones de rectas, distancias, etc., y luego presentar lo que necesites en la vista gráfica 1, utilizando traslaciones y homotecias.
    Tu profesor puede indicarte la relación que tiene esta forma de trabajar con las funciones: al pasar de una vista gráfica a otra aplicando una homotecia o una traslación, estamos viendo el resultado de aplicar una función, que transforma unos puntos del plano en otros.

Ejemplo

Con las siguientes imágenes, Alicia (IES Albarregas, Mérida), nos muestra el proceso seguido para dibujar la proporción \(\frac{10}{5}=\frac{8}{4}\).

paso1 paso2
paso3 paso4

 paso5

¿Como hemos conseguido números tan sencillos en el applet?

Al resolver la actividad anterior, te darás cuenta de que no es fácil conseguir números que sean todos enteros. Así que, debe haber algún truco para que el applet consiga tantos.

En primer lugar, podríamos intentar usar la potencia de un punto respecto una circunferencia AP·PB'=A'P·PB, eligiendo tres números enteros al azar, y despejando el cuarto, igual que cuando resolvíamos los ejercicios de la actividad interactiva.

  • Pero lo normal es que este cuarto número no resulte entero. Así que, ¿qué hacemos?
  • Un buen truco puede ser pensar en estas relaciones como proporciones: \(\frac{AP}{A'P}=\frac{PB}{P'B}\). Afortunadamente, conocemos muchas propiedades sobre fracciones equivalentes que podemos utilizar.
    • Como estas fracciones deben ser iguales, podemos partir de una fracción sencilla, por ejemplo: \(\frac{2}{3}\), y luego
    • obtener una primera fracción multiplicando por algún número; por ejemplo, por 5,
    • obtener la segunda multiplicando por otro número. Por ejemplo, 4.
    • Así, tenemos la proporción \(\frac{10}{15}=\frac{8}{12}\), que podemos utilizar para nuestra representación mediante circunferencias.
    • además, podemos controlar el tipo de números que nos aparecerán cuando vayamos a plantear ejercicios, para saber de qué dificultad resultarán.

Los casos en que aparecen cuadrados: teorema de la tangente y teorema de la altura son especiales, pues si intentas usar el truco anterior, verás que no es útil. Hay que conseguir AP2=A'P·PB

Así que podemos aplicar otro enfoque: necesitamos dos números que, al multiplicarlos, resulte un cuadrado perfecto.

¿Parece difícil?

Si lo piensas detenidamente, la única solución es que los dos números sean, a su vez, cuadrados perfectos o bien cuadrados perfectos multiplicados por el mismo número.
(*) ¿Sabrías explicar este hecho razonando matemáticamente?

Así que, podemos elegir, por ejemplo

  • 22=4 y 32=9, cuyo producto es el cuadrado perfecto 22·32=62=36, con lo que AP=6,
  • o también 22·5=20 y 32·5=45, cuyo producto es 62·52=302=900, con lo que AP=30.

Efecticamente, las proporciones son redondas

Como hemos visto, el estudio de las proporciones y su relación con las circunferencias nos ha llevado a un resultado redondo.

Hemos podido conectar varias áreas de las matemáticas: aritmética-cálculo, geometría y álgebra-ecuaciones. Además, tenemos una forma "manipulativa" de representar las proporciones ¡con circunferencias!

También, nos han permitido repasar y reflexionar sobre las propiedades de los números, cuando hemos buscado ejemplos numéricos "sencillos", y la geometría del triángulo para dibujar el circuncentro y la circunferencia circunscrita. Hemos aprendido una forma de proponer nosotros nuestros propios problemas geométricos de longitudes en circunferencias/o de resolución de proporciones.

Además, hemos tenido la oportunidad aprender cómo hacer demostraciones matemáticas, visualizando las demostraciones incluidas en el applet anterior.

¿Practicamos con cálculo mental?

Por último, para terminar de ver lo redondas que son las proporciones, vamos a utilizarlas para practicar también el cálculo mental.

Aquí tienes unas fichas interactivas para practicar el cálculo mental con proporciones. ¿Las imaginamos también representadas geométricamente usando circunferencias?

Pulsa aquí para ir al recurso en GeoGebra

Instrucciones

  • Recuerda que se trata de practicar el cálculo mental, así que procura no tener hacer las cuentas aparte.
  • Todos los resultados son con números enteros.
  • Siempre es posible encontrar alguna estrategia sencilla para calcular el número que falta, que consiste en multiplicar o dividir por un número entero para pasar de la primera fracción a la segunda, o bien de los numeradores a los denominadores.
  • Para ganar tiempo, no es necesario que corrijas cada cuenta individualmente (puedes esperar a que se corrijan solas al acabar).
  • Antes de comenzar la ficha, podremos elegir el tiempo disponible para rellenarla.
  • Si el tiempo no es mayor de 5min. 10seg., se asignará una calificación al terminar cada ficha.
    • los 5 primeros cálculos correctos, valen 1 punto cada uno.
    • a partir de ahí, 0.5 puntos cada cuenta.
    • cada fallo, descuenta un acierto.
    • si se hacen varios intentos, se conserva la puntuación más alta.

Esperamos que la próxima vez que encontremos una proporción, la miremos y la interpretemos de otra manera. ¡De una forma más redonda!

 

 

Esta entrada participa en la Edición 13.2: del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

 

(*) Editado: Este artículo resultó ganador del Carnaval de matemáticas. Edición mayo 2022.

Imagen trofeo carnaval