¿Por qué es importante conocer la posición que puede tener una figura con respecto otra?
¿Por qué es importante ponerles nombre?
Con este pequeño juego podremos aprender los diferentes tipos de posiciones relativas (clic en la imagen para activarlo), y con las actividades de "entretenimiento" veremos algunos motivos por los que resulta importante conocerlos.
Juego
Pulsando en "¡A jugar!" podemos resolver ejercicios para comprobar si hemos aprendido correctamente el vocabulario.
Cada ejercicio correcto vale 0,75 puntos, pero los fallos penalizan 1 punto.
Podemos intentar tantas fichas como queramos. Se conservará la puntuación más alta. Además, podremos visualizar el número de fichas realizadas y el número de fichas correctas.
Debes detallar la respuesta. Por ejemplo, si las circunferencias son tangentes, habrá que especificar si son tangentes interiores o exteriores. Igualmente, si las circunferencias son interiores, pero además son concéntricas, hay que responder "concéntricas".
Teoría
Pulsando en "Circunferencia" o "Círculo", veremos cuáles son sus elementos más importantes.
Moviendo los puntos azules, modificaremos la posición de los diferentes elementos.
Podemos mostrar u ocultar su dibujo activando la casilla correspondiente.
Igualmente, podemos mostrar las descripciones y modificar la posición de cada elemento.
Uno de los motivos de la importancia de aprender las posiciones relativas es que, al conocer las distintas posibilidades que hay, abrimos la puerta a saber cómo realizar nuestras creaciones artísticas y qué efectos podemos darle. Por ejemplo:
La idea de tangencia: cuando dos figuras son tangentes en un punto, ocurre que "muy cerca" de ese punto las figuras son prácticamente iguales. Podemos aprovechar las tangencias para pasar de una figura a otra sin que se noten cambios bruscos.
Por el contrario, cuando dos figuras son secantes, pasan por el mismo punto pero, cerca suya, no se parecen nada una a la otra. Podemos aprovechar esto para dibujar varios caminos que van en direcciones distintas y, simplemente se cruzan en ese punto.
El hecho de restringir un punto a que pertenezca a una circunferenciapuede parecer poco importante, pero nos llevará a utilizar giros en nuestras figuras,
Igualmente, tener un punto sobre una recta y deslizarlo sobre ella nos llevará a los conceptos de traslación y homotecia, que utilizaremos para cambiar la escala de nuestros dibujos o colocar objetos en distintos lugares.
En las actividades de entretenimiento y arte podremos indentificar estos elementos.
Utilizaremos el concepto de circunferencias tangentes y secantes para una primera creación artística. Podemos utilizar el applet para ver diferentes posibiliades o generar una plantilla con la que después hacer nuestra propia creación a mano.
Fíjate en que para dibujar las circunferencias tangentes, utilizamos la propiedad de que los centros y el punto de tangencia están alineados.
¿Aprecias la direfencia en el efecto que causa cuando los arcos de circunferencia son tangentes o son secantes?
Marcando la casilla Radio Inicial y desplazando el punto azul, podemos modificar la configuración de esta construcción.
Marcando ¿Cómo se dibuja? veremos paso a paso, las instrucciones para hacer el dibujo. Tan solo necesitamos regla y compás.
Pulsando en los arcos, podemos elegir dibujar cambiar el arco elegido en cada circunferencia.
Pulsa el botón "Copiar" para guardar la plantilla o copiarla al portapapeles.
Hemos aprovechado que las circunferencias tangentes son "prácticamente iguales" en el punto de tangencia para enlazar arcos de circunferencia y hacer pequeñas composiciones artísticas a la vez que repasamos varios conceptos matemáticos.
Encuentra situaciones de nuestra construcción relacionadas con los siguientes conceptos:
Circunferencias
Tangente interior
Tangente exterior
Secante
Interior
Exterior
Polígono regular
Mediatriz
Arte gótico
Utilizando la misma idea que con la construcción anterior, a partir de un polígono regular podemos recrear bonitas figuras que nos recuerdan al arte gótico. Para hacer más artística nuestra composición, podemos darle un efecto 3D al contorno de las líneas.
Pulsa en la animación para cargar la actividad e interactuar con ella. En el propio applet encontrarás las indicaciones sobre cómo hacer la composición paso a paso.
Arrastrando con el botón derecho del ratón, podemos girar la vista gráfica. Utilizando la rueda, podemos hacer zoom.
Pulsando en "paso a paso" podremos ver cómo hacer la construcción.
También podemos ver pequeñas indicaciones textuales de qué se ha hecho en cada paso.
Usando los deslizadores de la parte inferior, cambiaremos el color de la figura (escala RGB).
Marcando la casilla "Redondeado", modificamos el aspecto con que rellenamos las líneas.
La parte más difícil para hacer esta construcción a mano es trazar una circunferencia tangente a otras dos cuando conocemos el punto de tangencia.
Los pasos a seguir son los siguientes:
Prolongar el radio correspondiente al punto de tangencia en la primera circunferencia una longitud igual al radio de la segunda circunferencia.
Trazar la mediatriz del segmento que une el centro de la otra circunferencia con el punto anterior.
El centro de la nueva circunferencia tantente es el punto de corte de esa mediatriz con el diámetro de la primera circunferencia.
Puede trazarse otra circunferencia tangente más. El proceso es el mismo, pero en el punto 1, en lugar de prolongar el radio, lo que hacemos es acortarlo (calculando el punto en la otra dirección, hacia el centro de la primera circunferencia).
Para la construcción de nuestra figura habrá que dibujar las dos posibilidades, una en el paso 3 y otra en el paso 4.
Para hacer tu propia creación puedes imprimir el applet como plantilla, dejando visibles los elementos que necesitas si alguno de los pasos te resulta demasiado complicado.
Curvas y rectas
Igualmente, podemos crear un pequeño juego para crear dibujos artísticos a partir de sencillas fichas que enganchan una con otras.
Para diseñar las fichas, aprovechamos que los hexágonos rellenan el plano sin dejar huecos "teselan".
Haciendo que nuestros dibujos siempre acaben en el medio de los lados de los hexágonos, conseguiremos que ajusten bien entre ellos.
Tan solo tendremos que crear unos cuantos patrones para que, al combinarlos, podamos hacer todo tipo de creaciones artísticas.
Al pulsar en una ficha, en la parte de abajo verás con qué modelo se corresponde.
Pulsando en otros modelos, podemos cambiar la ficha, girarla si usamos los botones de giro, o cambiar su color con el rectángulo de abajo a la derecha.
La casilla de abajo a la derecha puede usarse para no tener seleccionada ninguna ficha.
Marcando la casilla reemplaza, cada vez que pulsemos en una ficha, la cambiaremos por el modelo que esté seleccionado.
- Realiza construcciones que...
Escondan una circunferencia, un óvalo, un cuadrado... ¿qué otras figuras se pueden conseguir?
Tengan simetría axial; o simetría central, o simetría central pero no axial.
Contengan una parte "periódica" (se repite una y otra vez).
- Razona qué posiciones relativas entre figuras pueden dibujarse con estas piezas, y cuáles no. - Recuerda: ¿qué propiedad matemática es la que hace que "enlacen" tan bien unas piezas con otras?
Piezas
- Podemos imprimir los modelos a tamaño grande y colocarlos sobre piezas hexagonales, para recrear este juego "físicamente".
- ¿Creamos laberintos? -
Utilizando las piezas en las que no está marcada la intersección de curvas o rectas, puedes crear caminos para que los recorra un robot (programado para seguir caminos con un color continuo).
Los plegados de Miura permiten doblar un folio con un solo movimiento. Por ejemplo, haciendo estas dobleces en un mapa, podríamos plegarlo completamente de una sola vez con tan solo ir juntando los extremos.
Esta propiedad es útil para el plegado de paneles solares, tanto en la Tierra como en el espacio, al permitir el uso de un solo motor (movimiento en una única dirección) en lugar de dos.
Puede hacerse a partir de cualquier teselación con paralelogramos que no sean rectángulos.
Pero fíjate: para describir el diseño de esta actividad, necesitamos utilizar nuestro vocabulario ralacionado con las posiciones relativas. Para hablar de los giros y ángulos, de cómo redimensionar y construir los los paralelogramos, etc. ¿Qué herramientas matemáticas necesitarías para describir lo que ocurre?
Arrastra con el botón derecho del ratón para cambiar el punto de vista. Usa la rueda para hacer zoom.
Pulsa en Opciones para mostrar/ocultar los puntos que permiten modificar la figura:
Puntos marrones: modificamos el paralelogramo inicial.
Puntos lila: cambiamos la cantidad de filas/columnas de nuestra teselación.
Punto azul: ángulo de doblado. Además, haciendo clic en él, iniciamos/detenemos la animación.
Punto verde: cambiar la posición inicial de la figura.
La parte superior muestra el plegado. Pulsando en ella, mostramos/ocultamos la teselación base.
La parte inferior muestra la teselación de paralelogramos. Pulsando en ella, mostramos/ocultamos el plegado.
¿Lo hacemos a mano?
Lo más cómodo es comenzar con una plantilla donde tengamos dibujada la teselación con paralelogramos.
Puedes obtenerla del applet, marcando la casilla "Plantilla" y luego pulsando el botón Copiar. Además, así podrás haber visualizado previamente cómo será el resultado una vez realizado el plegado.
Después, se trata de ir haciendo los pliegues para que queden como en el applet. Puedes seguir estos pasos y utilizar la plantilla que se incluye:
Polígonos engarzados
Ya sabemos que, visualmente, interpretamos las rectas secantes como "caminos" diferentes que se cruzan en un punto.
Podemos potenciar esta sensación utilizando colores y reforzando las líneas dándoles grosor para hacer una composición de "polígonos engarzados" (en realidad solo sería el borde de los polígonos, porque los polígonos no son huecos).
Para darle un toque más artístico, podemos darles también el aspecto de "polígonos imposibles" -si te fijas bien, la figura que interpretamos nosotros no podría construirse-).
Mueve los puntos azules para girar la figura (el cuadrado) o cada uno de los triángulos engarzados (los círculos). El punto azul claro controla el grosor del lado de los polígonos.
Utiliza las opciones para
Visualizar triángulos, cuadrados, pentágonos, etc., y engarzar 2, 3 o 4 polígonos.
Ver los puntos azules de control.
Usar polígonos "imposibles" o polígonos normales.
Rellenar/colorear los polígonos y ver los bordes o los vértices.
Ver un punteado con las líneas guía para crear el dibujo (desmarcando relleno y bordes)
Pulsando en "Copiar", tendremos una imagen lista para utilizarla (clic con el botón derecho sobre ella) o imprimirla.
Por ejemplo, para colorearla, haremos la copia desmarcando primero la casilla "Relleno".
Según el nivel de dificultad que queramos en nuestra construcción, podemos hacer plantillas donde solo se muestren los vértices, o las líneas con las que construir los polígonos, o directamente preparadas para colorearlas.
Utilizando el botón "Copiar", podemos llevar la imagen que nos interese a un procesador de texto e imprimir las plantillas. Por ejemplo:
Al igual que en otras actvidades, si pensamos en cómo describir la construcción, necesitamos nuestro vocabulario de posiciones relativas. Por ejemplo: para poder dibujar los polígonos engarzados, no pueden tener cualquier grosor.
Para poder describirlo con precisión, piensa cómo está relacionado con punto interior/exterior a una circunferencia, circunferencias concéntricas, tangentes, etc.
Nuestras actividades:
Pot último, aquí tienes un resumen de las actividades propuestas, junto con sus enlaces a GeoGebra (clic en el nombre para acceder):
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, cuya nonagésima edición, también llamadada 11.4, tenemos el privilegio de organizar a través de esta web: Rincón Didáctico de Matemáticas, de la Consejería de Educación y Empleo de la Junta de Extremadura.
[Editado]
El post resultó ganador de la edición de junio del Carnaval de Matemáticas.
