Para dibujar un triángulo, es suficiente con unir mediante segmentos tres puntos no alineados.

Sin embargo, hay ocasiones en las que conocemos algunos datos del triángulo, y queremos saber si se puede dibujar un triángulo que cumpla esas condiciones.

Por ejemplo, ¿podemos dibujar un triángulo tal que sus lados midan 5, 6 y 7cm? ¿Y que midan 4, 5 y 10cm?

También podemos preguntarnos por los ángulos: ¿habrá triángulos cuyos ángulos interiores midan 30º, 100º y 50º? ¿y que midan 30º, 60º y 50º?

Un triángulo podría parecernos poca cosa. Después de todo, consiste únicamente en tres puntos no alineados. Sin embargo, los utilizamos en todas partes: arte, arquitectura, navegación, señales de tráfico, crear mapas, imágenes 3D para videojuegos...

Son tan importantes que se han estudiado miles de propiedades y elementos notables de ellos. Incluso hay una enciclopedia de Centros del triángulo que recoge ¡más de 38000 puntos asociados a ellos!

Vamos a analizar algunas situaciones/juegos con las que veremos la utilidad de los 4 puntos y rectas más importantes "notables" asociados al triángulo.

Podemos aprovechar que las circunferencias tangentes son "prácticamente iguales" en el punto de tangencia para enlazar arcos de circunferencia y hacer pequeñas composiciones artísticas, a la vez que reforzamos varios conceptos matemáticos. Pulsa en la imagen para cargar la actividad e interatuar con ella, o bien en este enlace para abrirla en GeoGebra.

Con este applet del proyecto CREAde matemáticas podremos aprender de manera visual e interactiva los principales elementos de los polígonos, y practicar con los ejercicios autoevaluables que incluye.

Pulsa en la imagen para cargar el applet e interactuar con él. Para abrirlo en GeoGebra, puedes usar este enlace.

Utilidad de las posiciones relativas

• ¿Por qué es importante conocer la posición que puede tener una figura con respecto otra?
• ¿Por qué es importante ponerles nombre?
• Con este pequeño juego podremos aprender los diferentes tipos de posiciones relativas (clic en la imagen para activarlo), y con las actividades de "entretenimiento" veremos algunos motivos por los que resulta importante conocerlos.

Uno de los motivos de la importancia de aprender las posiciones relativas es que, al conocer las distintas posibilidades que hay, abrimos la puerta a saber cómo realizar nuestras creaciones artísticas y qué efectos podemos darle. Por ejemplo:

• La idea de tangencia: cuando dos figuras son tangentes en un punto, ocurre que "muy cerca" de ese punto las figuras son prácticamente iguales.
  Podemos aprovechar las tangencias para pasar de una figura a otra sin que se noten cambios bruscos.
• Por el contrario, cuando dos figuras son secantes, pasan por el mismo punto pero, cerca suya, no se parecen nada una a la otra. Podemos aprovechar esto para dibujar varios caminos que van en direcciones distintas y, simplemente se cruzan en ese punto.
• El hecho de restringir un punto a que pertenezca a una circunferenciapuede parecer poco importante, pero nos llevará a utilizar giros en nuestras figuras,
• Igualmente, tener un punto sobre una recta y deslizarlo sobre ella nos llevará a los conceptos de traslación y homotecia, que utilizaremos para cambiar la escala de nuestros dibujos o colocar objetos en distintos lugares.

En las actividades de entretenimiento y arte podremos indentificar estos elementos.

Siempre que conozcamos una función, tenemos la posibilidad de crear multitud de funciones nuevas a partir de ella, mediante unas sencillas transformaciones que denominamos "elementales".

A partir de la gráfica de la función y la nueva, podemos deducir fácilmente qué cambios debemos hacer en la expresión algebraica para obtener esa transformación, y lo que es más sorprendente:

• Podemos averiguar qué cambios hacer en la gráfica de la función para obtener la nueva gráfica.
• Por ejemplo conociendo la gráfica de \(f(x)=x^3-x^2-2x+1\), podríamos dibujar sin ningún esfuerzo la gráfica de una expresión tan complicada como \(g(x)=\frac{(x-1)^3-(x-1)^2-2(x-1)+1}{3}\)
• O para dibujar la gráfica de \(r(x)=\sqrt{\frac{3(x+5)}{4}}\), basta con hacer una pequeña transformación a la gráfica de \(s(x)=\sqrt{x}\), que ya conocemos.

Entonces, ¿cuáles son estas transformaciones tan útiles?

Las transformaciones que vamos a investigar son:

• traslaciones: mover la gráfica de la función en alguna dirección.
• dilataciones: estirar o enconger la gráfica bien horizontalmente o bien verticalmente. Combinando dos dilataciones y haciando una traslación se puede estirar/encoger en cualquier dirección, o aplicar una homotecia centrada en cualquier punto.
• simetrías, que consisten en reflejar la gráfica en alguno de los ejes. Realizando ambas, obtenemos la simetría central respecto el origen.

  Investigamos: nuestra primera tarea de investigación será sobre las simetrías. 

1. Al hacer la simetría respecto cualquiera de los ejes de coordenadas siempre se obtiene una nueva función. ¿Cómo podríamos justificarlo?
2. Vamos a investigar si se pueden combinar estas simetrías con alguna otra transformación para conseguir la simetría respecto otro eje vertical u horizontal ¿Cómo se haría?
3. La simétrica de una función respecto un eje oblicuo, por ejemplo la diagonal del primer cuadrante, normalmente no resulta una función. ¿Podríamos justificarlo con un ejemplo y decir los motivos?
   Por otra parte, al hacer esa simetría respecto la diagonal del primer cuadrante, decimos que se obtiene la gráfica de la inversa de la función (en las zonas donde el resultado sea una función). ¿Cómo podríamos justificar esta afirmación?
4. Es imposible hacer la simetría de una gráfica a partir de giros y traslaciones en el plano. Sin embargo, si saltamos al espacio, ya sí podemos, y resulta sencillo. Interactúa con esta actividad (clic aquí) para ver qué ocurre con algunas funciones. En esta animación podemos ver un ejemplo:

 Investigamos: nuestra segunda tarea de investigación es sobre la relación que hay entre las transformaciones elementales de las funciones y los cambios que hacemos en sus expresiones algebraicas. Concretamente, estudiaremos estos posibles cambios:

Algunos poliedros, y en especial los regulares como el octaedro o el dodecaedro, admiten isometrías que:

• Consisten en la composición de una rotación y una simetría.
• La rotación y la simetría -por separado- no son isometrías del poliedro.

Por ejemplo, para el octaedro, tenemos dos posibilidades (según el sentido de giro) por cada par de caras simétricas respecto el centro del octaedro.
Como hay 4 pares de caras, resultan 12 isometrías de este tipo. Pulsa en la imagen para cargar la visualización en GeoGebra e interactuar con ella. Se puede rotar la figura arrastrando con el botón derecho del ratón.

(*) Para abrirlo en GeoGebra, puedes usar este enlace.

¿Qué ocurre para los demás sólidos platónicos?

¿Cuántas isometrías admiten en total y de qué tipo son? 

Existen unas mallas invisibles que nos ayudan a recubrir el plano...

En ocasiones, las matemáticas nos proporcionan objetos invisibles que, aún sin verlos, nos pueden ayudar a realizar bonitas composiciones artísticas.

Vamos a ver el caso de los triángulos y los cuadriláteros. Aprenderemos a utilizarlos para hacer una composición que recubra el plano, y veremos cómo hacerlo, tanto con el ordenador como a mano, recortando las figuras y aprovechando para dar un nuevo uso a algunas revistas que ya no necesitemos.

Cuando cubrimos el plano utilizando figuras geométricas, decimos que estamos haciendo un teselado, o una teselación.

El diseño de un arco carpanel nos plantea grandes retos, no solamente de arquitectura sino también de matemáticas.

Muchos de ellos nos serán de utilidad en el aula. Utilizando esta construcción de GeoGebra, facilitaremos mucho el análisis a nuestro alumnado.

Como parte de las actividades del proyecto CREA, presentamos este applet pensado para practicar las propiedades de polígonos y circunferencias mediante problemas de enunciado.

Pulsa en la imagen para cargar la actividad e interactuar con ella, o bien en este enlace para abrirla en GeoGebra.

Ejercicios autoevaluables para practicar las traslaciones y las semejanzas del plano en 2ºESO. Pulsa en la imagen para cargar la actividad, o bien ábrela en GeoGebra haciendo clic aquí.

Instrucciones:

Ejercicios autoevaluables para practicar los movimientos del plano en 3ºESO. Pulsa en la imagen para cargar la actividad, o bien ábrela en GeoGebra haciendo clic aquí.

Instrucciones:

Los sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son los únicos 5 poliedros regulares convexos que existen. Esto es, los únicos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y los ángulos que forman las caras entre sí también son iguales.

El hecho de cumplir esas condiciones de regularidad hace que los poliedros regulares tengan tantas propiedades que desde siempre han fascinado a quienes los estudian. Una de las más bonitas y llamativas son sus simetrías.

Al observar las siguientes imágenes, podemos pasar por delante pensando "una simple lámpara". Sin embargo, si nos la observamos algo más detenidamente, podemos activar nuestra mirada matemática y convertirla en toda una situación de aprendizaje.

En este caso, la situación de aprendizaje deriva de plantearnos qué elementos matemáticos hay en su estructura, y cómo podríamos hacer un modelo suyo.

Por ejemplo, salta a la vista la peana en forma de dos cilindros concéntricos o, si queremos algo más complicado, la bombilla, resultado de unir una esfera y un cilindro (el casquillo), y que son comunes a la mayoría de lámparas.

Pero, en este caso, vamos a centrarnos en la estructura que hace peculiar esta lámpara: el alambrado que hace las veces de tulipa.

• Un primer paso sería identificar que esos tubitos, matemáticamente podemos interpretarlos como segmentos (o bien cilindros de radio muy pequeño), y que con sus uniones van formando cuerpos geométricos. Más concretamente, polígonos. Una buena cuestión sería identificarlos todos.
• Además, la reunión de estos polígonos forma un poliedro, aunque no un poliedro regular. ¿Podríamos comprobar la fórmula de Euler para este poliedro-lámpara?
• Pero además, el estudio de esta figura nos puede llevar a analizar interesantes cuestiones matemáticas relacionadas, que podemos plantear a nuestro alumnado según el nivel que estudien.
• Aparte, si les invitamos a modelizar el poliedro-lámpara utilizando programas como GeoGebra, conseguiremos reforzar su pensamiento computacional a la vez que les mostramos software específico de Geometría dinámica.
• Este proceso de modelización será todavía más productivo si tenemos el objeto real y lo combinamos con el hecho de medir físicamente, para luego contrastarlas con las obtenidas matemáticamente.

En resumen, toda una situación de aprendizaje que se despliega ante nosotros sin más que activar nuestra mirada matemática.

Veamos una posible modelización realizada con GeoGebra, y algunas de las cuestiones asociadas que podemos plantear:
(*) Para girar la vista 3D, arrastrar con dos dedos (móvil o tablet), o con el botón derecho del ratón (ordenador).

Modelizado de la lámpara:

Para el modelizado, utilizaremos las medidas:

• Lado hexágonos: 5cm, 7.5cm, 2.5cm
• Separación entre los hexágonos, 3.6cm y 8.9cm.

Cuestiones

Al modelizar la lámpara, parecía que, al visualizarla en perpendicular desde arriba, debían verse una estrella de David (dos triángulos equiláteros simétricos). Pero tomando mediciones precisas, no resultó ser así.

1. ¿Cuál debería haber sido la medida del lado mayor para que esto fuese así?
2. Utiliza tu vocabulario matemático para nombrar los demás tipos de polígonos que forman las varillas esta lámpara. Hay varios que son isósceles. Justifica por qué.
3. Identifica cuántos planos de simetría tiene nuestra lámpara. ¿Tiene algún eje de simetría? ¿y centro de simetría? Justifica las respuestas.
4. Si tienes conocimientos de trigonometría, utilízalos para calcular el radio de los polígonos regulares (distancia del centro a cada vértice) y la longitud de las varillas. Puedes marcar la casilla "Datos" para comprobar tus resultados. Las casillas permiten introducir funciones trigonométricas. Recuerda que al entregar la respuesta a esta pregunta, debes indicar el proceso que has seguido para el cálculo.
5. Con la información anterior (puedes usar los datos ofrecidos al marcar la casilla "Datos"), ¿cuántos cm de tubo de latón son necesarios para crear esta parte de la lámpara?
6. Igualmente, si queremos recubrir el lateral de la tulipa con algún tipo de material, ¿cuántos cm² necesitaremos? No cubriremos la parte superior para dejar salir el calor de la bombilla, ni la inferior, para conectar la bombilla.
   Recuerda que, para figuras tridimensionales, denominamos apotema al segmento que nos daría la altura de la correspondiente figura plana, y que necesitaremos para calcular su área.
   Para resolver el ejercicio, puedes usar el valor de estas apotemas que calcula el applet. Pero si has aprendido cómo calcularlas, indica cómo lo harías.
   Pista: necesitarás la fórmula de la distancia entre dos puntos del espacio o, directamente, usar el Teorema de Pitágoras.
7. Los triángulos formados con base el hexágono superior, dan la sensación de ser equiláteros, pero midiendo con precisión, comprobamos que no lo son. ¿Cuál debería haber sido la separación entre los hexágonos para que sí fuesen triángulos equiláteros? Indica el proceso de cálculo, utilizando trigonometría.

Nuestro turno

Es el momento de que realicemos nuestra propia versión de este modelizado. Así nos aseguraremos de entender bien la figura, los polígonos y las relaciones entre ellos, a la vez que aprendes a manejar GeoGebra y sus herramientas. Puede resultar cómodo utilizar secuencias, listas y coordenadas polares, pero puede hacerse sin ellos. En ese caso, el comando Rota(objeto, ángulo, centro) puede ser de utilidad. Podemos utilizar segmentos en lugar de cilindros para modelizar cada pequeño tubo de la lámpara.

• No te olvides de ocultar los elementos que no queremos que se vean (incluida la vista gráfica).
• No es necesario implementar las opciones de colores, polígonos o visualizar "datos".

Nuestras observaciones

Parece que los poliedros están más presentes a nuestro alrededor de lo que pensábamos. Ahora llega nuestro turno de buscar poliedros cerca nuestra.

Vamos a localizar varios y hacer un pequeños análisis rápido. Simplemente:

• Haremos una foto del poliedro. Puede ser "aproximadamente" un poliedro; esto es, puede tener las esquinas redondeadas o estar "un poco inflado" (incluiso como un balón). Pero, por ejemplo, una botella no valdría, porque claramente tiene partes que deben ser redondas.
• Pueden poliedros simples como la goma de borrar o el cuaderno de clase. No es necesario recurrir a poliedros complicados como el icosaedro truncado, famoso porque a partir de él se fabrican las pelotas de fútbol.
• Calculamos el número de vértices, caras y aristas, para comprobar si cumplen la fórmula de Euler (deberían, salvo que tengan "agujeros").
• Intentaremos encontrar entre 4 y 6 poliedros diferentes entre los objetos cotidianos que nos rodean.