¿Sabías que...?

Los cambios en la actividad magnética del Sol provocan que haya zonas con la temperatura más baja que en sus alrededores, con lo que esas zonas emiten menos luz. Desde la Tierra, parece como si hubiese una mancha en el Sol. Pueden parecernos pequeñas, pero nuestro planeta podría caber en ellas, ya que pueden llegar a medir hasta 12000km.

• Estas manchas habían sido observadas ya en el año 28 A.C. por los astrónomos chinos.
• En 1610 comenzaron a observarse con telescopios y, desde entonces, se tiene un registro de ellas.
• Para los astrónomos son muy importantes, porque nos dan una medida de la actividad solar. Por ejemplo, gracias a su estudio, se ha averiguado que aproximadamente cada 11 años, el Sol cambia su polaridad magnética.

Desde hace 400 años utilizamos los polinomios y sus operaciones para medir la actividad solar. 

¡Veamos cómo!

Solemos decir que las tareas matemáticas ricas "rich task", entre otras cosas,

• pueden dirigirse a personas con diferentes grados de conocimientos,
• plantean cuestiones fáciles de entender pero a la vez interesantes, con diferentes niveles de dificultad,
• tienen varios "grados de consecución", permitiendo aprender a la vez que se progresa en nuestras habilidades matemáticas,
• admiten varias soluciones creativas y abren la puerta a posibles generalizaciones.

Muchas veces, el decidir si una tarea es rica, depende de los ojos del que mira, para saber sacar el jugo al problema que queramos resolver.

En este caso, vamos a abordar la cuestión

¿Cómo dividir un cuadrilátero en dos partes de igual área?

Pues sí, se trata de una tarea rica que, según las capacidades y conocimientos de nuestro alumnado, y según qué parte de las matemáticas queramos abordar, podemos trabajar de una manera u otra.

Fíjate en la siguiente imagen. ¿Ves unos bloques que se mueven o un conjunto de rombos?

Si ves los cubos, ¿hacia dónde están orientados? ¿hacia arriba o hacia abajo?

Para dibujar un triángulo, es suficiente con unir mediante segmentos tres puntos no alineados.

Sin embargo, hay ocasiones en las que conocemos algunos datos del triángulo, y queremos saber si se puede dibujar un triángulo que cumpla esas condiciones.

Por ejemplo, ¿podemos dibujar un triángulo tal que sus lados midan 5, 6 y 7cm? ¿Y que midan 4, 5 y 10cm?

También podemos preguntarnos por los ángulos: ¿habrá triángulos cuyos ángulos interiores midan 30º, 100º y 50º? ¿y que midan 30º, 60º y 50º?

Un triángulo podría parecernos poca cosa. Después de todo, consiste únicamente en tres puntos no alineados. Sin embargo, los utilizamos en todas partes: arte, arquitectura, navegación, señales de tráfico, crear mapas, imágenes 3D para videojuegos...

Son tan importantes que se han estudiado miles de propiedades y elementos notables de ellos. Incluso hay una enciclopedia de Centros del triángulo que recoge ¡más de 38000 puntos asociados a ellos!

Vamos a analizar algunas situaciones/juegos con las que veremos la utilidad de los 4 puntos y rectas más importantes "notables" asociados al triángulo.

Superficies de revolución

Una superficie de revolución se obtiene al hacer girar una curva, no necesariamente plana, sobre un eje. La curva se denomina generatriz y el eje, eje de giro.

Dependiendo del tipo de curva, obtendremos superficies con aspecto muy diferente entre sí. Por ejemplo

(clic para abrir el recurso en GeoGebra)

Además, a partir de la idea de superficie de revolución podemos crear una gran variedad de superficies nuevas, introduciendo algunas variaciones.

Para crearlas y poder dibujarlas con nuestro software matemático (en este caso, GeoGebra), nos será de utilidad analizar cómo dar las ecuaciones para estas superficies.

Cuando comenzamos el estudio de las propiedades globales de las funciones, a nuestros alumnos les puede resultar difícil distinguir entre puntos e intervalos, y cúando hay que usarlos para expresar ciertas propiedades.

Con este applet de GeoGebra podrán analizar las funciones que ellos elijan. En este caso, se utilizarán únicamente funciones determinadas por poligonales, para facilitar al alumnado la comprensión y el dibujo de las mismas.

El applet les mostrará sus principales propiedades, y también les permitirá comprobar de forma autónoma los conocimientos adquiridos, gracias a las actividades autoevaluables incluídas.

Durante este curso escolar tan complejo, un año en el que impera el trabajo individual frente al cooperativo y con un alumnado (y profesorado) que en determinados períodos de tiempo se ha visto forzado, por los efectos de la pandemia, a trabajar desde casa, hemos pensado en apostar por la introducción del cálculo mental de forma manipulativa y a través de fichas digitales.

¿Qué es el cálculo mental?

El cálculo mental es, además del conjunto de procedimientos mentales que realiza una persona sin la ayuda del lápiz y el papel, una habilidad transversal fundamental en el área de las matemáticas, que permite al alumnado obtener una respuesta exacta ante problemas aritméticos sencillos.

Uno de los detonantes que, desde nuestro punto de vista, deberían hacernos integrar en el aula dinámicas de cálculo mental, es su contribución a “mantener en forma nuestra mente”.

¿Cómo generar dinámicas de cálculo mental en las condiciones actuales?

Nuestro Rincón Didáctico de Matemáticas tiene el honor de ser anfitrión de la edición de junio de 2020 del Carnaval de Matemáticas "Matemáticas en la desescalada". Un certamen virtual donde los creadores y divulgadores de matemáticas podemos presentar nuestras aportaciones a las matemáticas.

Una iniciativa que viene desarrollándose desde hace ya 11 años, promoviendo la divulgación, la cultura, el conocimiento y en general, el amor hacia las matemáticas.

Con esta edición, la cuarta de 2020, llegamos a la número 90. ¿Os gustaría participar?

 Cómo participar

• Si estáis interesados en participar en esta edición, 11.4 del Carnaval de Matemáticas, basta con publicar en vuestro blog , red social (Twitter, instragram, Facebook, TikTok,...) o cualquier otro medio digital una entrada relacionada con las matemáticas.
• Si no tienes ninguno de estos medios pero aún así deseas publicar algo, puedes contactar por correo electrónico para que acordemos la forma de hacerlo (por ejemplo una entrada en esta página, citando la correspondiente autoría).

Temática

• La temática es libre, siempre que mantenga relación con las matemáticas. Puede ser un artículo de divulgación, presentación de diferentes formas de enseñar contenidos matemáticas, reflexiones sobre la actividad docente, incluyendo experiencias de aula. Por ejemplo, cómo la hemos adaptado al confinamiento y la desescalada. También tienen cabida reseñas sobre la vida o actividad de algún matemático o matemática, recomendaciones y opiniones sobre libros de matemáticas, etc.

Plazos

Utilidad de las posiciones relativas

• ¿Por qué es importante conocer la posición que puede tener una figura con respecto otra?
• ¿Por qué es importante ponerles nombre?
• Con este pequeño juego podremos aprender los diferentes tipos de posiciones relativas (clic en la imagen para activarlo), y con las actividades de "entretenimiento" veremos algunos motivos por los que resulta importante conocerlos.

Uno de los motivos de la importancia de aprender las posiciones relativas es que, al conocer las distintas posibilidades que hay, abrimos la puerta a saber cómo realizar nuestras creaciones artísticas y qué efectos podemos darle. Por ejemplo:

• La idea de tangencia: cuando dos figuras son tangentes en un punto, ocurre que "muy cerca" de ese punto las figuras son prácticamente iguales.
  Podemos aprovechar las tangencias para pasar de una figura a otra sin que se noten cambios bruscos.
• Por el contrario, cuando dos figuras son secantes, pasan por el mismo punto pero, cerca suya, no se parecen nada una a la otra. Podemos aprovechar esto para dibujar varios caminos que van en direcciones distintas y, simplemente se cruzan en ese punto.
• El hecho de restringir un punto a que pertenezca a una circunferenciapuede parecer poco importante, pero nos llevará a utilizar giros en nuestras figuras,
• Igualmente, tener un punto sobre una recta y deslizarlo sobre ella nos llevará a los conceptos de traslación y homotecia, que utilizaremos para cambiar la escala de nuestros dibujos o colocar objetos en distintos lugares.

En las actividades de entretenimiento y arte podremos indentificar estos elementos.

Uno de los objetos matemáticos que, a simple vista nos parecen más llamativos, son las espirales y las construcciones relacionadas con ellas.

Desde luego, son un recurso artístico muy bonito, pero también podemos encontrarlas fácilmente en la naturaleza.

• ¿Sabrías decir en qué consiste una espiral? ¿Conoces alguna forma de dibujarlas?
• ¿Sabías que aparecen en los iris de las cámaras de fotos, y en las composiciones "doblado en iris"?
• Las semillas del girasol se distribuyen formando miles de espirales, usando algo muy relacionado con ellas, que aparece en muchos lugares de la naturaleza: la "sucesión de Fibonacci" y los ángulos áureos.
  Sabemos ¡y vemos! que muchísimas plantas crecen así, usando ángulos áureos, para que las hojas se tapen lo menos posible entre sí, y aprovechar mejor la luz del Sol.

Con esta actividad (pulsa aquí o en la animación anterior) podremos aprender y manipular muchos conceptos relacionados con ellas.

Aquí tienes algunos ejemplos de lo que podemos visualizar en la construcción.

¿Los construímos?

- Utiliza las indicaciones del applet para crear tu propia espiral falsa con el compás y arcos de circunferencia. Podrás hacer la de varios centros o la de Fibonacci.

- Dibujando segmentos perpendiculares, imitando uno a uno los pasos del applet, podrás dibujar la Espiral de Teodoro.

- También, recortando pequeños rectángulos de papel puedes preparar un "iris folding":

• imprime el modelo que te guste, haciendo una captura de pantalla del applet
• recorta un cuadrado grande en un papel y, después, pega la plantilla.
• comienza a pegar pequeños rectángulos de papel coincidiendo con las líneas de tu plantilla, de fuera hacia dentro. Esta parte que estás haciendo será la parte de "detrás" de la composición. No podrás ver cómo queda hasta que termines y despegues la plantilla.
• cuando termines, despega la plantilla y dale la vuelta para ver tu creación, que está por el otro lado del folio.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas,que en esta octogésima cuarta edición, también denominada X.4, está organizado por@maytejromera a través de su blog Qué vamos a hacer hoy.

(*) Actualización: Este artículo resultó ganador de la edición de septiembre de 2019 del Carnaval de Matemáticas.

Siempre que conozcamos una función, tenemos la posibilidad de crear multitud de funciones nuevas a partir de ella, mediante unas sencillas transformaciones que denominamos "elementales".

A partir de la gráfica de la función y la nueva, podemos deducir fácilmente qué cambios debemos hacer en la expresión algebraica para obtener esa transformación, y lo que es más sorprendente:

• Podemos averiguar qué cambios hacer en la gráfica de la función para obtener la nueva gráfica.
• Por ejemplo conociendo la gráfica de \(f(x)=x^3-x^2-2x+1\), podríamos dibujar sin ningún esfuerzo la gráfica de una expresión tan complicada como \(g(x)=\frac{(x-1)^3-(x-1)^2-2(x-1)+1}{3}\)
• O para dibujar la gráfica de \(r(x)=\sqrt{\frac{3(x+5)}{4}}\), basta con hacer una pequeña transformación a la gráfica de \(s(x)=\sqrt{x}\), que ya conocemos.

Entonces, ¿cuáles son estas transformaciones tan útiles?

Las transformaciones que vamos a investigar son:

• traslaciones: mover la gráfica de la función en alguna dirección.
• dilataciones: estirar o enconger la gráfica bien horizontalmente o bien verticalmente. Combinando dos dilataciones y haciando una traslación se puede estirar/encoger en cualquier dirección, o aplicar una homotecia centrada en cualquier punto.
• simetrías, que consisten en reflejar la gráfica en alguno de los ejes. Realizando ambas, obtenemos la simetría central respecto el origen.

  Investigamos: nuestra primera tarea de investigación será sobre las simetrías. 

1. Al hacer la simetría respecto cualquiera de los ejes de coordenadas siempre se obtiene una nueva función. ¿Cómo podríamos justificarlo?
2. Vamos a investigar si se pueden combinar estas simetrías con alguna otra transformación para conseguir la simetría respecto otro eje vertical u horizontal ¿Cómo se haría?
3. La simétrica de una función respecto un eje oblicuo, por ejemplo la diagonal del primer cuadrante, normalmente no resulta una función. ¿Podríamos justificarlo con un ejemplo y decir los motivos?
   Por otra parte, al hacer esa simetría respecto la diagonal del primer cuadrante, decimos que se obtiene la gráfica de la inversa de la función (en las zonas donde el resultado sea una función). ¿Cómo podríamos justificar esta afirmación?
4. Es imposible hacer la simetría de una gráfica a partir de giros y traslaciones en el plano. Sin embargo, si saltamos al espacio, ya sí podemos, y resulta sencillo. Interactúa con esta actividad (clic aquí) para ver qué ocurre con algunas funciones. En esta animación podemos ver un ejemplo:

 Investigamos: nuestra segunda tarea de investigación es sobre la relación que hay entre las transformaciones elementales de las funciones y los cambios que hacemos en sus expresiones algebraicas. Concretamente, estudiaremos estos posibles cambios:

Proporciones y circunferencias

Muchas veces, nos limitamos a ver las proporciones como "igualdad entre razones" \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), donde identificamos los "extremos" a y d, y los "medios" b y c.

Para comprobar si dos razones forman una proporción, sabemos que, al "multiplicar en cruz", los productos deben resultar iguales a·d=c·d.

Pero,

¿sabías que las proporciones son redondas?

Si dos razones forman una proporción, entonces podremos dibujarlas utilizando una circunferencia.

Y si no forman proporción, ya no podremos hacer esa representación.

No se trata de alguien haciendo la "operación bikini" para el verano sino que, algunas veces, las fórmulas para los llamados cuerpos redondos (porque tienen partes curvas) son vistas como una dificultad insalvable.

Sin embargo, pensando un poco, todas esas fórmulas se obtienen a partir de polígonos, prismas y pirámides. ¡Vamos a verlo!

• El número pi y la longitud de la circunferencia:
  La definición de π es precisamente "el número por el que hay que multiplicar el diámetro (doble del radio, 2r) para obtener la longitud de la circunferencia".
  ¡¡π se define para que la circunferencia mida 2πr !!
  
  Como los cuerpos redondos se generan usando circunferencias, en todas las fórmulas aparecerá nuestro número π.
  
  
• El círculo, los cilindros y los conos:
  Pensando el círculo como un polígono regular con muchos lados, sus áreas son prácticamente iguales. Aplicando esta idea a los cilindros y a los conos, podemos deducir todas las fórmulas que necesitamos.

En las opciones de la derecha, elige la fórmula que te interese.
Pulsa en cada paso para ver la descripción.
Podemos modificar el número de lados para ver cómo, con "muchos lados", el cuerpo es "casi" un cuerpo redondo.
Podemos reorientar la vista 3D arrastrando con el botón derecho. Pulsando en el título de la sección iremos al applet en la web de GeoGebra.

• La esfera:
  Razonando como con el círculo, podemos recubrir la esfera con muchos polígonos, o con muchas circunferencias y sumar todas sus áreas. Y si lo que queremos es el volumen, podemos rellenarla con pirámides o conos.
  ¿Parecen demasiadas sumas?
  Si lo razonamos bien, no tendremos hacer ninguna suma para obtener cada fórmula. ¿Vemos cómo?

Este artículo forma parte de la octogésimo tercera edición del carnaval de matemáticas X.3, organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

Existen unas mallas invisibles que nos ayudan a recubrir el plano...

En ocasiones, las matemáticas nos proporcionan objetos invisibles que, aún sin verlos, nos pueden ayudar a realizar bonitas composiciones artísticas.

Vamos a ver el caso de los triángulos y los cuadriláteros. Aprenderemos a utilizarlos para hacer una composición que recubra el plano, y veremos cómo hacerlo, tanto con el ordenador como a mano, recortando las figuras y aprovechando para dar un nuevo uso a algunas revistas que ya no necesitemos.

Cuando cubrimos el plano utilizando figuras geométricas, decimos que estamos haciendo un teselado, o una teselación.

Una vez finalizado el plazo para las votaciones para el Carnaval de Matemáticas, ¡¡ya tenemos el recuento de resultados!!

En la edición 11.4 del Carnaval de Matemáticas "Matemáticas en la desescalada", hemos recibido las siguientes contribuciones.

¡Muchas gracias a todos los participantes! ¡¡Son 22 contribuciones de altísimo nivel!!

Los sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son los únicos 5 poliedros regulares convexos que existen. Esto es, los únicos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y los ángulos que forman las caras entre sí también son iguales.

El hecho de cumplir esas condiciones de regularidad hace que los poliedros regulares tengan tantas propiedades que desde siempre han fascinado a quienes los estudian. Una de las más bonitas y llamativas son sus simetrías.

SUPERFICIES DE HOJAS CON GEOGEBRA

Débora Pereiro Carbajo

En clase me gusta proponer pequeños proyectos de investigación con GeoGebra. Este curso, motivada por el proyecto “Miradas de la geometría” (organizado por las asociaciones de matemáticas Agapema y Les Maths en Scene), me propuse trabajar con el alumnado de 1º de  ESO: poliedros, cúpulas geodésicas y superficies.

Fig. 1 y 2. Cúpula geodésica y hoja

Puesto que sobre las cúpulas geodésicas ya he hablado (en un artículo publicado en Suma,N.º 93 de Abril 2020) en esta ocasión voy a hacerlo sobre superficies, en concreto sobre las superficies de las hojas de árboles o plantas.

El espacio es muy grande. Debe ser difícil saber dónde buscar para encontrar planetas. Sin embargo, las matemáticas, gracias al lenguaje algebraico, han conseguido ayudarnos a identificar y encontrar muchos de los objetos que pueblan el universo.

¿Quieres conocer la historia de cómo se descubrió Ceres?