Investigamos transformaciones elementales de funciones

Siempre que conozcamos una función, tenemos la posibilidad de crear multitud de funciones nuevas a partir de ella, mediante unas sencillas transformaciones que denominamos "elementales".

A partir de la gráfica de la función y la nueva, podemos deducir fácilmente qué cambios debemos hacer en la expresión algebraica para obtener esa transformación, y lo que es más sorprendente:

• Podemos averiguar qué cambios hacer en la gráfica de la función para obtener la nueva gráfica.
• Por ejemplo conociendo la gráfica de \(f(x)=x^3-x^2-2x+1\), podríamos dibujar sin ningún esfuerzo la gráfica de una expresión tan complicada como \(g(x)=\frac{(x-1)^3-(x-1)^2-2(x-1)+1}{3}\)
• O para dibujar la gráfica de \(r(x)=\sqrt{\frac{3(x+5)}{4}}\), basta con hacer una pequeña transformación a la gráfica de \(s(x)=\sqrt{x}\), que ya conocemos.

Entonces, ¿cuáles son estas transformaciones tan útiles?

Las transformaciones que vamos a investigar son:

• traslaciones: mover la gráfica de la función en alguna dirección.
• dilataciones: estirar o enconger la gráfica bien horizontalmente o bien verticalmente. Combinando dos dilataciones y haciando una traslación se puede estirar/encoger en cualquier dirección, o aplicar una homotecia centrada en cualquier punto.
• simetrías, que consisten en reflejar la gráfica en alguno de los ejes. Realizando ambas, obtenemos la simetría central respecto el origen.

  Investigamos: nuestra primera tarea de investigación será sobre las simetrías. 

1. Al hacer la simetría respecto cualquiera de los ejes de coordenadas siempre se obtiene una nueva función. ¿Cómo podríamos justificarlo?
2. Vamos a investigar si se pueden combinar estas simetrías con alguna otra transformación para conseguir la simetría respecto otro eje vertical u horizontal ¿Cómo se haría?
3. La simétrica de una función respecto un eje oblicuo, por ejemplo la diagonal del primer cuadrante, normalmente no resulta una función. ¿Podríamos justificarlo con un ejemplo y decir los motivos?
   Por otra parte, al hacer esa simetría respecto la diagonal del primer cuadrante, decimos que se obtiene la gráfica de la inversa de la función (en las zonas donde el resultado sea una función). ¿Cómo podríamos justificar esta afirmación?
4. Es imposible hacer la simetría de una gráfica a partir de giros y traslaciones en el plano. Sin embargo, si saltamos al espacio, ya sí podemos, y resulta sencillo. Interactúa con esta actividad (clic aquí) para ver qué ocurre con algunas funciones. En esta animación podemos ver un ejemplo:

 Investigamos: nuestra segunda tarea de investigación es sobre la relación que hay entre las transformaciones elementales de las funciones y los cambios que hacemos en sus expresiones algebraicas. Concretamente, estudiaremos estos posibles cambios:

1. sumar o restar algún número a la variable dependiente (y=f(x)) o a la independiente (x),
2. multiplicar o dividir estas variables por algún número.

• Primero, intentaremos conjeturar cuál es esa relación, observando cómo afectan diferentes transformaciones a algunas funciones que elijamos.
• Después, intentaremos justificar nuestra conjetura a partir de nuestros conocimientos matemáticos. Como indicación, podemos razonar sobre:
  1. qué ocurrirá con una función y su gráfica al sumar o restar un número a alguna de las variables,
  2. como continuación de la primera investigación, razonar cuáles son los valores de la función original que utilizamos al cambiamos el signo de la variable independiente (x) o la dependiente (y=f(x)) y su relación con a las simetrías, incluyendo la central.
  3. qué valores de la función original debemos utilizar si, en lugar de calcular la imagen de un número, calculamos la del doble de ese número, o el triple, etc.

• Como esta investigación es más complicada, hemos preparado una actividad interactiva con la que llevarla a cabo, de manera que sea sencillo aplicar las distintas transformaciones elementales a la función que elijamos. Además, la propia actividad incluye ejercicios con los que comprobar si hemos entendido todo correctamente.

Utilizaremos esta actividad para investigar las transformaciones y familiarizarnos con los cambios que se producen en las gráficas de las funciones. En ocasiones, las dilataciones y las simetrías son difíciles de imaginar si no estamos acostumbrados a trabajar con ellas. Pulsando aquí accederemos a la actividad en la web GeoGebra.

Con la casilla Usar variables, podemos elegir efectuar las transformaciones mediante botones o transformando las variables dependiente, y=f(x), e independiente, x.

• Podemos cambiar de función escribiéndola en el cuadro donde indica la fórmula de f(x).
• Visualizamos la función en color naranja, y su transformada en azul.

• Con los botones, pulsamos el botón correspondiente a la transformación elemental que queamos aplicar: traslación, simetría o dilatación.
• Para las transformaciones de las variables, marcamos la casilla con la transformación que queramos efectuar a la función f(x) o a la variable x, e introducimos su valor.

Instrucciones

Antes de practicar con los ejercicios, puedes investigar la relación entre las dos formas de aplicar las transformaciones, cambiando de una a otra.

• Observa que, al sumar/restar un número, lo único que se hace es trasladar la gráfica (con la casilla "Usar variables" activada) . Podemos mover el deslizador o introducir el número en la casilla para elegir el número sumado.
• ¿Cómo se obtendrán las simetrías?¿y las dilataciones?
• Activando la casilla Productos y divisiones (con la casilla "Usar variables" también activada) veremos las opciones para multiplicar o dividir las variables por números. Se mostrará la correspondiente expresión algebraica. ¡Cuidado! no uses todas a la vez, porque ¡saldrá una expresión muy complicada!
• Con la animación puedes ver poco a poco cómo es esa transformación con la gráfica de color gris. Utilízala para describir qué ocurre con las dilataciones. Recuerda también la actividad anterior (clic aquí para verla) sobre las simetrías.

• Al activar la casilla, podrás modificar el valor concreto para esa transformación.
• Podemos arrastrar el plano de coordenadas con el ratón para moverlo y hacer zoom con la rueda.

Observa

• Realmente, teniendo la opción de multiplicar no es necesario tener una casilla para dividir.
• ¿Qué deberíamos introducir en la casilla multiplicar para obtener el mismo efecto que al dividir por 10? ¿Y por 4?

Instrucciones para los ejercicios de la actividad