Situación de aprendizaje en una lámpara de mesilla

Detalles

Escrito por Javier Cayetano

Categoría de nivel principal o raíz: Geometría

Categoría: Actividades y juegos

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Al observar las siguientes imágenes, podemos pasar por delante pensando "una simple lámpara". Sin embargo, si nos la observamos algo más detenidamente, podemos activar nuestra mirada matemática y convertirla en toda una situación de aprendizaje.

En este caso, la situación de aprendizaje deriva de plantearnos qué elementos matemáticos hay en su estructura, y cómo podríamos hacer un modelo suyo.

Por ejemplo, salta a la vista la peana en forma de dos cilindros concéntricos o, si queremos algo más complicado, la bombilla, resultado de unir una esfera y un cilindro (el casquillo), y que son comunes a la mayoría de lámparas.

Pero, en este caso, vamos a centrarnos en la estructura que hace peculiar esta lámpara: el alambrado que hace las veces de tulipa.

• Un primer paso sería identificar que esos tubitos, matemáticamente podemos interpretarlos como segmentos (o bien cilindros de radio muy pequeño), y que con sus uniones van formando cuerpos geométricos. Más concretamente, polígonos. Una buena cuestión sería identificarlos todos.
• Además, la reunión de estos polígonos forma un poliedro, aunque no un poliedro regular. ¿Podríamos comprobar la fórmula de Euler para este poliedro-lámpara?
• Pero además, el estudio de esta figura nos puede llevar a analizar interesantes cuestiones matemáticas relacionadas, que podemos plantear a nuestro alumnado según el nivel que estudien.
• Aparte, si les invitamos a modelizar el poliedro-lámpara utilizando programas como GeoGebra, conseguiremos reforzar su pensamiento computacional a la vez que les mostramos software específico de Geometría dinámica.
• Este proceso de modelización será todavía más productivo si tenemos el objeto real y lo combinamos con el hecho de medir físicamente, para luego contrastarlas con las obtenidas matemáticamente.

En resumen, toda una situación de aprendizaje que se despliega ante nosotros sin más que activar nuestra mirada matemática.

Veamos una posible modelización realizada con GeoGebra, y algunas de las cuestiones asociadas que podemos plantear:
(*) Para girar la vista 3D, arrastrar con dos dedos (móvil o tablet), o con el botón derecho del ratón (ordenador).

Modelizado de la lámpara:

Para el modelizado, utilizaremos las medidas:

• Lado hexágonos: 5cm, 7.5cm, 2.5cm
• Separación entre los hexágonos, 3.6cm y 8.9cm.

Cuestiones

Al modelizar la lámpara, parecía que, al visualizarla en perpendicular desde arriba, debían verse una estrella de David (dos triángulos equiláteros simétricos). Pero tomando mediciones precisas, no resultó ser así.

1. ¿Cuál debería haber sido la medida del lado mayor para que esto fuese así?
2. Utiliza tu vocabulario matemático para nombrar los demás tipos de polígonos que forman las varillas esta lámpara. Hay varios que son isósceles. Justifica por qué.
3. Identifica cuántos planos de simetría tiene nuestra lámpara. ¿Tiene algún eje de simetría? ¿y centro de simetría? Justifica las respuestas.
4. Si tienes conocimientos de trigonometría, utilízalos para calcular el radio de los polígonos regulares (distancia del centro a cada vértice) y la longitud de las varillas. Puedes marcar la casilla "Datos" para comprobar tus resultados. Las casillas permiten introducir funciones trigonométricas. Recuerda que al entregar la respuesta a esta pregunta, debes indicar el proceso que has seguido para el cálculo.
5. Con la información anterior (puedes usar los datos ofrecidos al marcar la casilla "Datos"), ¿cuántos cm de tubo de latón son necesarios para crear esta parte de la lámpara?
6. Igualmente, si queremos recubrir el lateral de la tulipa con algún tipo de material, ¿cuántos cm² necesitaremos? No cubriremos la parte superior para dejar salir el calor de la bombilla, ni la inferior, para conectar la bombilla.
   Recuerda que, para figuras tridimensionales, denominamos apotema al segmento que nos daría la altura de la correspondiente figura plana, y que necesitaremos para calcular su área.
   Para resolver el ejercicio, puedes usar el valor de estas apotemas que calcula el applet. Pero si has aprendido cómo calcularlas, indica cómo lo harías.
   Pista: necesitarás la fórmula de la distancia entre dos puntos del espacio o, directamente, usar el Teorema de Pitágoras.
7. Los triángulos formados con base el hexágono superior, dan la sensación de ser equiláteros, pero midiendo con precisión, comprobamos que no lo son. ¿Cuál debería haber sido la separación entre los hexágonos para que sí fuesen triángulos equiláteros? Indica el proceso de cálculo, utilizando trigonometría.

Nuestro turno

Es el momento de que realicemos nuestra propia versión de este modelizado. Así nos aseguraremos de entender bien la figura, los polígonos y las relaciones entre ellos, a la vez que aprendes a manejar GeoGebra y sus herramientas. Puede resultar cómodo utilizar secuencias, listas y coordenadas polares, pero puede hacerse sin ellos. En ese caso, el comando Rota(objeto, ángulo, centro) puede ser de utilidad. Podemos utilizar segmentos en lugar de cilindros para modelizar cada pequeño tubo de la lámpara.

• No te olvides de ocultar los elementos que no queremos que se vean (incluida la vista gráfica).
• No es necesario implementar las opciones de colores, polígonos o visualizar "datos".

Nuestras observaciones

Parece que los poliedros están más presentes a nuestro alrededor de lo que pensábamos. Ahora llega nuestro turno de buscar poliedros cerca nuestra.

Vamos a localizar varios y hacer un pequeños análisis rápido. Simplemente:

• Haremos una foto del poliedro. Puede ser "aproximadamente" un poliedro; esto es, puede tener las esquinas redondeadas o estar "un poco inflado" (incluiso como un balón). Pero, por ejemplo, una botella no valdría, porque claramente tiene partes que deben ser redondas.
• Pueden poliedros simples como la goma de borrar o el cuaderno de clase. No es necesario recurrir a poliedros complicados como el icosaedro truncado, famoso porque a partir de él se fabrican las pelotas de fútbol.
• Calculamos el número de vértices, caras y aristas, para comprobar si cumplen la fórmula de Euler (deberían, salvo que tengan "agujeros").
• Intentaremos encontrar entre 4 y 6 poliedros diferentes entre los objetos cotidianos que nos rodean.